гр.ешности, в соответствии с ГОСТ 8.207—76 производится в зави
симости от соотношения величин 0 и 5-:
х
при 0 /5 - < 0 ,8 |
(2.11) |
|
величиной 0 пренебрегают и считают, что |
|
|
АЛ = |
е; |
(2.12) |
при 0/5 - > 8 |
|
(2,13) |
пренебрегают величиной е, и |
|
|
АЛ = |
0: |
(2.14) |
при 0,8 < 0 /5 - < 8 |
|
(2.15) |
доверительная граница АЛ вычисляется по формуле
Из формулы (2.13) можно вычислить максимальное |
число на |
||
блюдении, которые целесообразно |
провести |
в данных |
условиях |
(при СКО результатов наблюдений, |
равном 5, |
и наличии |
неисклю- |
ченных остатков систематической составляющей с границей 0) на
основании следующих рассуждений: |
при |
увеличении |
п значение |
5 “ уменьшается, однако уменьшать |
5 - |
целесообразно |
только до |
тех пор, пока 5^ не станет равной 0/8 (дальнейшее увеличение п
становится |
бессмысленным, так как все |
равно при определении |
||
АЛ значением в придется пренебречь). Отсюда максимальное |
число |
|||
наблюдений |
|
|
|
|
|
«МРКО = (88/ 0)2* |
|
|
(2.17) |
Запись |
результата прямого измерения. Результат |
прямого |
||
измерения |
записывается согласно ГОСТ 8.011—72 |
в |
виде |
|
(1.62)*. |
|
распределения. |
Способы |
|
Вычисление эмпирических моментов |
||||
анализа экспериментальных выборок (см. с. 31,32) позволяют опреде лить только наличие или отсутствие соответствия между опытным ваконом распределения результатов наблюдений и теоретическим, нормальным законом распределения случайных величии. Более полное статистическое описание свойств выборки можно получить с помощью совокупности моментов распределения.
При нахождении моментов распределения надо прежде всего упорядочить выборку — представить ее в виде возрастающего ряда неповторяющихся вариант в указанием частоты каждой
из них. Такое статистическое распределение выборки обычно за дается таблицей (табл. 6).
Интервал от хх до следует разбить на некоторое количество
& частичных интервалов длиной Н и подсчитать для каждого из них сумму частот вариант, попавших в данный интервал (варианты, оказавшиеся'на границе двух смежных интервалов, необходимо поровну распределить между ними). Среднее значение х в каждом частичном интервале называется равноотстоящей вариантой л: .
* Правила округления значений А в ДЛ см на с, 28,
*/ |
"/ |
*/. |
п/о |
V * |
Ху |
|
*1о |
|
|
Ху |
|
хйа |
|
|
Отношение суммы частот п^ частичного интервала к длине этогс интервала Н называется плотностью частоты л/о/Л.
Величины |
и п^/Н также удобно свести в таблицу |
(табл. 7).
Отложив по оси абсцисс частичные интервалы и построив на них как на основаниях прямоугольники высотой я^/Л, получим
гистограмму частот. Конфигурация ее приблизительно отображает характер эмпирического закона распределения результатов наблю дений в выборке (чем меньше значение И. и больше общее число наблюдений л, тем более гистограмма приближается к кривой рас пределения).
.Начальные эмпирические моменты вычисляются по следующим формулам:
^ 2 "/ .*/ .: Й. = \ |
= |
|
/=1 |
/-1 |
(2. 18) |
/-1 |
/=1 |
|
Центральные эмпирические |
моменты можно |
найти по форму |
лам (1.36), (1.37) и (1.38), предварительно преобразовав их для удобства вычислений на микроЭВМ:
|
|
т а = |
ц2 — ]?; |
ш3 = Из — |
(ц2 + |
2?п2); |
|
|
|||
|
|
Щ = |
1*4 — |
Дз + |
((12 + |
т 2). |
|
(2.19) |
|||
ния |
Для вычисления асимметрии и эксцесса используем, выраже |
||||||||||
(1.34) |
и (1.35): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А (х) = щ / ( т 2 |
У т 2; |
Е (х) = тА/тГ — 3. |
|
(2.20) |
|||||
|
При А (х) > 0 асимметрия |
правосторонняя, |
правая |
ветвь |
|||||||
растянута; |
при А (х) |
< 0 |
асимметрия |
левосторонняя, вытянута |
|||||||
левая ветвь (рис. 15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чем |
Если Е (х) > 0 , 'эмпирическая кривая более островершинная, |
||||||||||
нормальная; |
при |
Е (л:) < 0 — менее. |
|
|
|
|
|||||
|
Таким |
образом, анализ величин ц1 = |
^ (х ); |
т2 = |
0(х); |
А[х) и |
|||||
Е (х) позволяет судить о характере |
опытного |
распределения. |
|
||||||||
|
Особенности обработки эксперимешальных данных при прямых |
||||||||||
неравноточных измерениях. |
Неравноточными |
|
называются |
много |
|||||||
кратные измерения одной и той. же физической величины, выпол ненные в неодинаковых условиях или с помощью различных средств и методов. В этом случае в расчеты вводится понятие о весе измере ния & как о числе (обычно целом), которое отображает степень до-
верия к этому измерению: наименее достоверным наблюдениям при сваивается и наименьший вес (например, ^ = 1), а остальным при писывается тем больший вес, чем выше их достоверность. Резуль таты неравиоточных наблюдений обрабатываются аналогично ре* зультатам равноточных,, только формулы для вычисления х, $ и 5~ имеют другой вид:
л
|
|
|
1= 1 |
|
|
|
(2,21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
или |
х = |
с |
+ |
|
— с), |
|
(2.22) |
||
а также |
|
|
[=! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
д. (Х[ _ |
су- - |
|
ё( (х, - с)| | (2.23) |
|||
и |
|
|
|
|
|’=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
||
|
|
|
5 ; = |
|
|
|
|
||
Здесь х1 — результаты отдельных наблюдений; |
— соответствующие |
||||||||
этим резул татам веса; § = |
п |
с — произвольное начало отсчета. |
|||||||
][] |
|||||||||
|
|
|
1=1 |
Линейная регрессия. |
Если имеется |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
совокупность |
экспериментально |
по |
||||
|
|
|
лученных |
значений х* и г/*, причем |
|||||
|
|
|
. известен |
характер |
функциональной |
||||
|
|
|
Рис. |
15. Правосторонняя (Л > 0) и лево |
|||||
|
|
|
сторонняя |
(Л < |
0) асимметрии распре |
||||
|
|
|
деления |
|
|
|
|
|
|
связи между |
величинами |
X и У, то. |
обработка |
таких результа |
|||||
тов измерений |
сводится |
к |
вычислению |
параметров |
функции, |
на |
|||
илучшим образом отображающей данную экспериментальную зави
симость (такая функция |
называется уравнением |
регрессии). |
|||||
Этот метод удобен для обработки экспериментальных функ |
|||||||
циональных зависимостей |
при |
линейной |
связи |
между |
X и У |
||
(рис. 16,а): |
У = |
аХ + |
Ь. |
|
|
(2.25) |
|
|
|
|
|
||||
Это |
уравнение называется |
уравнением |
линейной регрессии. |
||||
В результате обработки серии пар экспериментальных |
величин |
||||||
XI и У1 |
вычисляются коэффициенты |
линейной регрессии |
а и Ь: |
||||
а |
*$1 |
|
|
|
1=1• • |
(2.26) |
|
|
1=1 |
(= 1 |
|
1=1 |
|
||
|
Ь = ( |
Е У[ — а |
И |
|
|
(2.27) |
|
|
|
|
|
||||
1=1 1=1
Если интервал между соседними значениями Х( постоянный и каждое из них численно равно /, выражения (2.26) и (2.27) упро щаются:
а = 6 [2 |
1У[ - (п + 1) |
у с]/[п («* - 1)]; |
(2.28) |
1= |
1 |
1= 1 |
|
|
® |
< |
2 - 2 9 > |
|
1=1 |
|
|
Для определения погрешностей можно вычислить среднеквад ратичные отклонения оценок величии а и Ь, но лучше рассчитать
Рис. 16. Линейная |
регрессия (а) и график |
распределения ее по |
||
грешности (б) |
|
|
|
|
среднеквадратичное |
отклонение точек х$ У( |
от уравнения |
регрес |
|
сии — прямой у = |
ах |
Ь: |
|
|
5 = 1/ |
2 |
(а*,-+&-у,№-1)(а2+1)]. |
(2.30) |
|
У1=1
Для определения ширины полосы, характеризующей погреш
ность |
линейной регрессии, по обе стороны от |
прямой у = ах + Ь |
(рис. |
16| б) следует отложить значения |
где |
|
3У(Х) = в!У~п- |
(2.3!) |
в. ПРОГРАММЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИИ С ПОМОЩЬЮ мвкроЭВМ «ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34*
Обработка экспериментальных данных на вычислительных ма шинах. Для выполнения описанных в параграфе 5 вычислений воз можно использование любых вычислительных машин. Однако осо бенно целесообразно использовать при этом портативные микроЭВМ индивидуального пользования, способные производить вычис лительные операции как с подачи команд вручную, так и автома тически (из программной памяти, куда предварительно заносится необходимая последовательность этих команд). В настоящее время для выполнения технических расчетов все шире используются такие микроЭВМ индивидуального пользования, как «Электроника БЗ-34», а также ее аналоги МК-54 и МК-56 (отличаются от БЗ-34 только начертанием символов на нескольких клавишах).
Приведенные ниже программы предназначены для работы с микроЭВМ «Электроника БЗ-34», но могут быть полностью ис
пользованы |
и для |
выполнения |
вычислений |
с |
помощью МК-54 |
||||
и МК-56*. |
|
(обработка |
прямых |
измерений, |
3 |
С п |
< 50: |
||
Программа № 1 |
|||||||||
«критерий IV»). Программа (табл. 8) |
предназначается |
для |
обра |
||||||
ботки результатов прямых измерений при числе |
наблюдений |
от 3 |
|||||||
до 50; выборка должна быть упорядочена. Проверка |
на нормаль |
||||||||
ность — с |
помощью |
«критерия |
IV». |
|
|
|
|
|
Если |
Прежде всего программа предусматривает вычисление IV. |
|||||||||
гипотеза о соответствии выборки нормальному |
закону |
распределе |
|||||||
ния подтвердится,' можно получить А = х, а затем значение АЛ равное е, 0 или /С52 (вариант вычисления АЛ выбирается автома
тически— в зависимости от значения 0/5-). Ввод значений х,, а так-
х
же коэффициентов ап_у_|_1 и разностей *л_ у + 1— Ху производится
в процессе выполнения расчетов, с клавиатуры. При этом для удоб. ства на экране высвечиваются порядковые номера х или / (предло жение ввести соответствующие исходные данные). Для уменьшения операционных погрешностей вычисления производятся по формулам, в которых расчетные операции выполняются над величинами (х /— с). Значения / , 0, п, I и с вводятся в память машины до начала вы
числений. |
Поверка |
отдельных |
результатов наблюдений х* |
на анор |
||||||||||||||||||||
мальность выполняется с клавиатуры. |
После завершения |
расчетов |
||||||||||||||||||||||
значения |
$2, 5-, |
е и 0/5- |
могут |
|
быть |
|
вызваны |
из |
памяти машины. |
|||||||||||||||
Инструкция для работы с программой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. Ввести и проверить программу. |
|
|
|
0,8 = |
П1. |
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
Заслать |
в |
память расчетный |
параметр |
|
|
В/О). |
|||||||||||||||||
3. |
Возвратить |
программу |
к |
началу |
(нажать |
клавишу |
= |
|||||||||||||||||
4. |
Ввести |
в |
память |
параметры |
данной |
выборки: |
|
|
ПА, |
|||||||||||||||
0 = ПВ, с = ПС, п = ПД. |
циклов |
п = |
ПО |
и |
нажать |
|
клавишу |
|||||||||||||||||
5. |
Установить |
число |
|
|||||||||||||||||||||
С/П** — на |
|
индикаторе |
высветится |
«1». Это |
означает |
х*= |
1 — при |
|||||||||||||||||
глашение к вводу значения хх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Упорядочить |
выборку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 < *2 -С ••• |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Набрать |
хг\ |
С/П — на |
индикаторе |
«2»; |
набрать |
х 2; |
|
С/П — Н1 |
||||||||||||||||
.индикаторе «3» и т. д. |
|
С/П — на |
|
индикаторе |
«0». |
Установит» |
||||||||||||||||||
6. |
После |
набора |
хп и |
|
||||||||||||||||||||
новое число циклов / = ПО; нажать |
|
С/П — на индикаторе «Ь |
при |
|||||||||||||||||||||
глашение |
начать |
ввод значений |
ап_у+ | |
и хл__/+ 1— ху. для |
/ = I). |
|||||||||||||||||||
Набрать а; |
| |
; |
Ах из нижней строки таблицы; С /П — на |
индикатор* |
||||||||||||||||||||
«2». Набрать |
а\ |
| |
; |
Ах для |
/ = |
|
2 (из |
предпоследней |
строки табли* |
|||||||||||||||
цы) и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
Ах для |
/ |
= |
1 и нажатия на С/П |
инди |
||||||||||||
7. После набора а; |; |
||||||||||||||||||||||||
цируется |
значение |
|
IV. |
Сопоставить |
|
его с |
табличным |
|
IV*: |
есл! |
||||||||||||||
IV > |
IV**, |
выборка |
не |
противоречит |
|
нормальному закону |
распре |
|||||||||||||||||
деления, расчет продолжать. |
|
|
|
|
|
значение |
А = |
|
х; |
|
запи* |
|||||||||||||
8. Нажать |
|
С/П — на |
индикаторе |
|
|
|||||||||||||||||||
сать его. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Краткие |
|
рекомендации |
по |
эксплуатации |
указанных |
микроЭВМ |
даны I |
|||||||||||||||||
гл. 5, конкретные инструкции прилагаются |
к каждой |
программе. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
• • В дальнейшем для сокращения изложения инструкций команда «Нажать клавишу» опускается.