Материал: Метрологическая обработка результатов технических измерений

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

и изменяется от 0 до 1 при изменении л; от — оо до оо. Значения
•Р (х;, р, а) для конкретных х, р и а можно	вычислить по таб
лицам стандартной функции — так называемого	интеграла Лап

ласа Ф (у), приведенным в прил. 2; едесь у соответствует выраже


нию	(1.16).	Р (х; р,, а)	вычисляется			по формуле
	Функция*
		Р (х; р,, а)	=	Ф [(х — р) /о)			+ 0,5.	(1.21)
ний	Таблица	Ф (у) составлена только для					положительных значе
	у %для отрицательных		следует		воспользоваться			соотношением
		Ф (-») = -Ф (У).						(Ь22)
вать	Изменением шкалы по			оси	ординат		можно	линеаризиро
	график	интегральной	функции			нормального		распределения

Рис. 10. Интегральная функция нормального

распреде

ления (а) и ее линеаризованный

график (б)

(рис. 10,6). Систему координат с такой шкалой называют

вероят

ностной

бумагой, с ее

помощью

можно ориентировочно

судить

о том, распределена ли

некоторая конечная совокупность значе

ний Х( по нормальному закону.

Квантили кривой распределения и уровни значимости. На

графике нормального распределения / (х;

р, а) (рис.

11,а)

значению

функции*/7 (х; р, а) для

некоторого х =

х^ соответствует

площадь

заштрихованного участка, отображающая вероятность того,

что

случайная величина X находится в

диапазоне от — оо до х ^

Такая

вероятность

называется односторонней.

рас

Если

заштрихованная

площадь

равна у % от всей площади,

положенной между кривой / (х; р,

а) и осью абсцисс, т. е.

Р {X <

< ху} =

у, .то

значение

ху называют

у %*ной квантилыо

кривой

распределения.

Например,

пусть на

рис.

11,а площадь заштрихован

ного участка

составляет

10 %

от общей площади под кривой

} (х;

р, о). Тогда

Ху есть 10%-ная

квантиль:

х10<уо = — 1,2816.

Индекс квантили выражает вероятность у того, что случайная величина X це превышает ее значения ху. (Таблица квантилей нор

мального распределения дана в прил. 3).

На рис. 11,6 заштрихованная площадь отображает вероятность того, что случайная величина X не находится в диапазоне от —оо

до ху, т. е. превышает значение х , будучи расположена между ху

и оо: Р {Х > х у} = 1 — у.

Величина

а = 1 — у

(1.23)

в общем случае называется уровнем значимости. Подуровнем зна чимости какой-либо статистической гипотезы понимают наиболь-

Рис. 11. у %-ная квантиль (односторонняя вероятность) (а) и одно сторонний уровень значимости (б)

шую вероятность а , с которой эта гипотеза может дать ошибочный результат. Уровнем значимости характеризуют критическую об ласть; если найденная оценка оказывается в критической области, данная гипотеза не принимается. Уровень значимости, вычислен ный по односторонней вероятности, также является односто ронним.

Рис. 12. Вероятность попадания в интервал между хг и х2 (двусто ронняя вероятность) (а) и двусторонний уровень значимости (б)


В общем случае для					нормально распределенной				с параметрами
(.1 и о случайной величины X можно вычислить вероятность ее
попадания в		некоторый			заданный		интервал	между х1		и х2:
	Р { х г < Х < х 2} = Р (х2-,						р, а) — Р (*!; р,		ст) =
Эта	вероятность			отображена			заштрихованной		площадью на
рис. 12,а; вероятность попадания в, заданный интервал										называется
двусторонней.					интервала		при дгх =	р. — е и		дс2 = (.1 -Ь в
Для	симметричного
вычисления		по	формуле		(1.24)	упрощаются:
	Р №	-	в) <	X	< (ц +	е)} = ф (г) =		2Ф (г).		(1.25)

		г = е/а.		(1,26)
Определим	вероятность	попадания	нормально	распределенной
случайной величины X в интервал (.1 ±			е для различных значений г
(табл. 1). Это	означает, что	случайная	величина X	не выходит за

пределы \1 ± с с вероятностью 68,3 %, в интервале ц. ±* 2а нахо

дится

95,5 % значений

случайной

величины;

интервале

ц ±

± Зо — 99,7 %.

интеграла

При малых выборках для оценки достоверности

вероятности используется функция 5 (г, л),

вытекающая

из

рас

пределения

Стыодента

и зависящая

не только

от г,

но

и от объема

выборки п (табл. 2).

п =

случайная величина

не выводит

за

Так,

например,

при

пределы

р, ± 2а

вероятностью только

88,4 %;

при

л =

Таблица 1

Таблица 2

’ 2

■'

5 (2,

п) при

значениях п

'Иг)

0,683

0,955

Г»Г»П-7

и,уу/

0,500

0,626

0,656

0,670

•

эта

вероятность

0,705

0,884

0,924

0,940

увеличивается

0,795

0.960

0,984

0,992

до

92,4

непопадания

Вероятность

между

хх и

х2 представляет

случайной

величины

в'

интервал

собой

двусторонний

уровень

значимости:

1 -

Р {Хг <

х2].

(1.27)

Здесь значение

соответствует

суммарной

площади

заштрихован

ных

участков на рис. 12,6.

ут

и у2.

связанные

Если

известны односторонние вероятности

соответственно

каждым

из • фиксированных

значений

хг

ха»

можно вычислить значение двусторонней вероятности у.

Допустим,

односторонняя вероятность того, что

не

превышает

хх> равна

Ух, тогда .вероятность нахождения X

в диапазоне от хх до оэ

равна

1 — У].

Односторонняя

вероятность

нахождения

пределах

от — оо до х2 равна

у2.

При

условии

у2 >

?1 > 0,5

можно

вычис

лить двустороннюю вероятность у попадания X

интервал

между

хг

х2:

У = Ъ + Уг — 1-

(1-28)

Если известны двусторонняя вероятность у, а

у]

у2.

то

значения

этих

односторонних

вероятностей

определяются по

фор

муле

VI =

Уг -

(1 +

V) /2.

(1.29)

Моменты распределения. Для практических целей вместо пол ного статистического описания свойств генеральной совокупности случайных величин х с помощью закона их распределения / (х) или интегральной функции распределения Р (х) часто ограничи ваются только указанием некоторых частных характеристик этой совокупности — моментов распределения (начальных и централь ных).

м о м е н т т3 характеризует отклонение кривд»!	распределения
от симметричной. Асимметрией называют величину
А (л:) = тэ (х )/У т \ (*).	(1.34)

Для симметричного распределения А (х) = 0. При А (х) > 0 асимметрия правосторонняя (правая ветвь более^ вытянута, спус кается от вершины менее круто, чем левая), при А (х) < 0 — левосторонняя (правая ветвь более крутая, а левая — пологая, удлиненная).

Ч е т в е р т ы й ц е н т р а л ь н ы й м о м е н т харак теризует островершинность кривой распределения. Величина

	Е (х) = т4 (х) !т\ (х) — 3	(1.35)
называется	эксцессом. Поскольку для нормального распределения
ш4 (х) /т*	(х) = 3, то эксцесс отображает	островершинность по

сравнению с кривой нормального распределения: при Е (х) > 0 данная кривая более островершиииа, чем нормальная, а при Е (х) < < 0 — менее.

Вычисления ц& производятся по формуле (1.30). Значения т&

находят по формулам
т2 =	Ц2 — Ц*;		(1-36)
Щ =	Из — 3)41*2 +	2ц®;	(1.37)
Щ = Р-4 — 4)4)1з +		6)1®Ц2 — Зц*.	(1.38)
Статистические оценки выборочных параметров			распределе

ния. Способы статистического описания свойств случайных вели

чин относятся к генеральной, бесконечной			совокупности их. По
скольку на практике число п наблюдаемых значений				величины х
ограничено, по данным такой случайной			выборки хъ	х2,	хп
определить истинные	значения неизвестных		параметров	распреде
ления М (х) и о (х)	невозможно.	Вместо них определяются			только
их статистические оценки М (х)		и о (х),	которые, являясь		функ

циями членов выборки, отклоняются от истинных значений соот ветствующих параметров. Статистическая оценка называется то- чечной, если ее значение можно представить геометрически в виде точки на координатной оси, по которой откладываются значения однородной случайной величины.

По степени совершенства статистические оценки характери зуются состоятельностью, несмещенностью и эффективностью. Со-

гтоятельная оценка при увеличении объема выборки приближается

кистинному значению величины. Несмещенной называют оценку, математическое ожидание которой равно истинному значению величины. Несмещенную состоятельную оценку часто удается получить из смещенной состоятельной оценки, умножая последнюю на некоторую функцию от п.

Эффективная оценка обладает минимальной дисперсией по сравнению с другими оценками.

Среднее арифметическое выборки. Оценкой истинного значения математического ожидания случайной величины х является сред нее арифметическое выборки

М(х) « х = ^ */.

(1.39)

1=1

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений