Материал: Метрологическая обработка результатов технических измерений

Отдельное попадание в левом нижнем углу мишени — это грубая погрешность (промах);

совокупность случайных погрешностей и постоянной по зна­ чению систематической (смещен прицел);

совокупность случайных погрешностей и переменной система­

смещенная влево па длину отрезка О—О'; 2 —номинальная характерно-,

тика прибора; Дс — значение систе-

о

матпческой погрешности; ДПр —пре­

дельное значение случайной по-, грешности

Случайная составляющая погрешности характеризует откло­ нение отдельного наблюдения от некоторого центра их группи­

или отсутствию функциональной связи между погрешностью изме­ рения и значением измеряемой величины различаются два вида составляющих погрешности: аддитивная и мультипликативная.

А д д и т и в н а я (по-лат.— «получаемая путем сложения») погрешность не зависит от значения измеряемой величины. По закономерности проявления аддитивные погрешности могут быть

зуют на характеристике полосу постоянной ширины (рис. 6, б). Мультипликативная погрешность (получаемая путем умноже­

ния) зависит от значения измеряемой величины. Такая погрешность возникает, например, в измерительной схеме (рис. 7) при измене­

Поскольку при изменении температуры окружающей среды сопро­ тивления /?А и /?ш изменяются неодинаково (так как /?А изготов­

лено из меди, а /?ш выполнено из сплава манганина), значение кгэффициента /?д//?ш + 1 изменится, в результате чего измерение тока /

будет производиться с погрешностью, значение которой пропорцио­ нально значению измеряемой величины.

В зависимости измеряемой величины от времени погрешности измерений могут иметь статическую и динамическую составляю­ щие. Статическая составляющая погрешности возникает при ста­ тических измерениях, когда измеряемая величина не изменяется в течение времени, необходимого для отсчета показаний. Динами- ческая составляющая возникает при динамических измерениях, и ее значение зависит от скорости изменения измеряемой величины. Примером динамического измерения является регистрация мгно­ венных значений электрического тока с помощью магнитоэлектри­ ческого осциллографа.

3. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ СОВОКУПНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Понятие о случайной величине. Результат отдельного наблю­ дения при многократном прямом измерении какой-либо физиче­ ской величины из-за наличия случайных погрешностей представ­ ляет собой случайную величину.

Случайной в математике называют такую величину, которая в зависимости от случая принимает то или иное численное значе­ ние. Поскольку закономерности в появлении этих значений нет, анализ таких величин может производиться только методами тео­ рии вероятности- и математической статистики. Для характери­ стики случайной величины необходимо знать совокупность возмож­

статистической характеристикой является ее распределение вероят­

вероятное значение дискретной случайной величины называется модой (х' на рис. 8,а).

Закон распределения непрерывной случайной величины. Зна­

значении также бесконечно мала, и построить кривую распределен ния вероятностей невозможно. Чтобы выявить распределений вероятностей в этом случае, рассматривают некоторое множество интервалов Ах* в диапазоне возможных значений данной случай­ ной величины 1и подсчитывают частоты р* попадания значений в каждый из этих интервалов. Расположив, как и в предыдущем случае, значения х* в порядке возрастания и обозначив соответ­ ствующие вероятности р/, получим ступенчатую кривую — гисто­ грамму (рис. 8,6). Если взять бесконечно малые интервалы (Ах*-*

(штриховая линия на рис. 8,6). Уравнение, описывающее эту плав­ ную кривую, называется законом распределения данной непрерыв­ ной случайной величины. Площадь под всей кривой / (х) равна вероятности появления любого из возможных значений х4*, т. е.

Рис. 9. Нормальное распределение плотности вероятности случайной ве­ личины:

максимальное значение. распределения.

Нормальное распределение непрерывных случайных величин. Наиболее распространенным для непрерывных случайных величин

Здесь е — основание натуральных логарифмов; р и о — параметры распределения.

Нормально распределенные величины часто встречаются в прак­ тике. Случайные погрешности многократных измерений обычно распределены по нормальному закону, даже если законы распре­ деления вероятностей составляющих отличаются от нормального. Кривые нормального распределения (рис. 9) симметричны относи­ тельно ординаты, проходящей через точку х = р, и имеют в этой

точке единственный максимум, равный 1/ (а У 2я) (мода для нор­ мального закона распределения). При р = 0 кривая симметрична относительно оси ординат. Абсциссам р — о и р + а соответствуют точки перегиба кривой; с уменьшением а максимум кривой воз­ растает, и она становится более островершинной.

Нормальное распределение бесконечно большой совокупности непрерывных случайных величин было исследовано К. Ф. Гато­ сом (поэтому нормальное распределение называют еще и «гауссо­ вым»). Использование «распределени-я Гаусса» для обработки ко­ нечных совокупностей случайных величин также возможно, если число их п достаточно велико (л •> 30). В этом случае условно

считают, что наблюдаемые п значений величины X , т. е. хъ ..., хл> представляют собой случайную выборку из воображаемой бес­ конечной генеральной совокупности. Понятие бесконечной генераль­ ной совокупности есть математическая абстракция: генеральной называют совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном комплексе условий. Сущность методов математической статистики состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке объема п ) вынести суждение о свойствах всей совокупности в целом. При большом числе наблюдений, каждое из которых дает случайный результат, взаимно уравновешиваются влияния случайных факторов и прояв­ ляются общие закономерности, которые позволяют описать данную генеральную совокупность в виде некоторых усредненных величин.

Для нахождения значений функции / (я; р,, а) следует таб­ личные значения / (у) разделить на а.

Распределение Стьюдента. В статистике малых выборок (в мик­ ростатистике) большую роль играет другое распределение непре­

где Г (а) — гамма-функция (интервал Эйлера' второго рода); /т —

величина, характеризующая степень отклонения выборочных ста­ тистических характеристик от генеральных, (с увеличением объема выборки п значение / уменьшается); к — число степеней свободы.

В общем случае число степеней свободы равно числу л значе­ ний случайной величины X , уменьшенному на число связывающих их линейных соотношений. Здесь

при каждом фиксированном х равно вероятности того, что случай­ ная величина X не превысит х, т. е. Р (х) = Р {X < х].

Интегральная функция нормального распределения (рис. 10,а) описывается формулой1

1 % (2-**>а