Так как x не может быть равным нулю (это бы противоречило второму ограничению), то из этого уравнения следует, что x = 2a/3.
В качестве независимой переменной можно было бы выбрать и величину h. Но это усложнило бы решение задачи.
Теперь надо узнать тип экстремального значения. Он может быть либо минимумом, либо максимумом. Для этого надо определить знак значения второй производной в точке экстремума. Функция имеет максимальное значение, если это значение отрицательное. Для запоминания этого способа в математическом анализе было правило, так называемого, «ковшика»: если он стоит так, что из него не выливается вода (его профиль при этом напоминает функцию с минимумом), то это соответствует знаку «+». Если он перевернут, то его профиль похож на функцию с максимумом. При таком положении ковшика вода из него выливается и ему ставится в соответствие знак минус.
Выражение для второй производной будет следующим:
V?= a - 3x. (4.6)
При x = 2a/3 получим, что V? = -а, т.е. является отрицательным. Следовательно, в найденной точке экстремума функция V = f(x) принимает максимальное значение. Таким образом, решение x = 2a/3 является оптимальным по заданному критерию.
В данном случае вывод о том, что функция V = f(x) имеет максимальное значение для х в интервале [0,3], можно было сделать и простым логическим заключением: на границах интервала V = 0, а в промежутке между ними V > 0.
В точке экстремума объем изделия будет следующим:
V =(2a/3)2Ч(a-2a/3)2 = (4a2/9) Чa/6 = 0,074a3 м3. (4.7)
При а = 3м получим, что V=1,998 м3, а отходы S = 2 м2.
Таким образом, в оптимальном варианте по критерию максимума V изделие будет иметь объем в 2 раза больший, чем в варианте 1 и в 1,25 раза, чем в вариантах 2 и 3.
Системный анализ решения. Итак, была решена задача оптимизации конструкции изделия. Ее результатом стало определение размеров изделия, при которых оно имеет максимально возможный объем. Это позволит соответственно увеличить цену изделия и таким образом увеличит доходы предприятия без дополнительных производственных затрат. Потребуются только затраты на решение задачи, например, на приобретение программного обеспечения.
За счет получился такой результат? За счет лучшего использования материала? Не только, так как самое лучшее использование материала будет при минимальной высоте изделия. Здесь найдена оптимальная форма изделия, т.е. соотношение длины основания к высоте x / h, равное 4.
Для решения задачи оптимизации формы изделия потребовалось привлечь геометрию и математический анализ. А в реальной ситуации потребовалось бы еще использовать вычислительную математику и информатику для выбора или разработки необходимого информационно-программного обеспечения решения задачи на компьютере.
Сама задача возникла в рамках производственной системы. Ее границами на входе являются имеющиеся материальные ресурсы, трудовые ресурсы, оборудование, производственная инфраструктура, а на выходе - готовое изделие, удовлетворяющее техническим условиям и требованиям к качеству от заказчика.
Если изделие готовится для продажи, то конечным бизнес-процессом в системе будет продажа изделий. Его выходом будет выручка от продажи. В этом случае определение адекватного критерия выбора оптимального решения осуществляется в рамках экономической системы, в которой формируются цены на продукцию, условия продажи и т.д.
Проблемы принятия решений возникают в рамках производственных и экономических систем. А для выработки решений используются создаваемые информационные системы, в которых, в частности, могут реализовываться математические методы. При этом можно выделить следующие этапы решения задачи:
Этап 1. Содержательная постановка задачи.
Этап 2. Математическая постановка задачи.
Этап 3. Выбор метода решения задачи.
Этап 4. Анализ результатов.
В заключение следует отметить, что был оптимизирован продукт бизнес-процесса, а не процесс его изготовления. При оптимизации же процесса производства уменьшаются затраты на его осуществление, например, за счет уменьшения количества передач изделия между рабочими местами и, соответственно этому, ускорения процесса, а также за счет уменьшения общей величины вынужденных простоев из-за несогласованности работ во времени.
4.3 ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ОБЪЕКТА СТРОИТЕЛЬСТВА
ЗАДАНИЕ
Для здания c заданным объемом V*=20+N тыс.м3 при квадратном основании найти объемно-планировочное решение, обеспечивающее минимальный расход материала на строительство для двух вариантов: варианта 1, не учитывающего расход материала на основание здания, и варианта 2, в котором этот расход учитывается.
МЕТОД ВЫПОЛНЕНИЯ
В данном случае надо определить соотношение H/Y высоты H здания и стороны Y его квадратного основания. Предполагается, что от этого соотношения зависит площадь его поверхности, а, следовательно, и расход материала на строительство, а также и потери тепла.
Формальная постановка задачи. Так как расход материала зависит от площади поверхности S, то критерием выбора решения должен быть минимум S. Если не учитывать расход материала на основание здания (вариант 1), то целевая функция будет следующей:
min S = y2 + 4YЧH. (4.8)
Ограничением на изменение величин H,Y является то, что задан объем здания, в результате чего величины H и Y связаны между следующим уравнением
Y2ЧH = V*. (4.9)
Отсюда получим, что H = V*/Y2 . Тогда целевая функция примет следующий вид:
min S = y2+4 V*/Y. (4.10)
Таким образом, надо найти отношение H/Y, удовлетворяющее ограничению (4.9) и целевой функции (4.10).
Решение задачи. Уравнение для первой производной от целевой функции, позволяющее найти экстремальное решение, имеет следующий вид:
S? = 2Y - 4V*/Y2 = 0, (4.11)
откуда следует, что
Y3 = 2V*. (4.12)
Для поиска отношения H/Y следует воспользоваться ограничением (4.9). В результате для (4.12) получим, что Y3 = 2Y2ЧH, откуда следует решение данной задачи:
H=Y/2. (4.13)
Вторая производная от целевой функции имеет следующий вид:
S? = 2 + 8V*/Y3. (4.14)
Используя (4.9) и (4.13), получим S? = 2 + 8Y2ЧH/Y3 = 2+8 H/ Y = 6.
Так как S? > 0, то это свидетельствует о минимуме целевой функции.
В результате решения данной задачи определено, что оптимальная форма здания, при которой обеспечивается его минимальная поверхность для заданных условий, будет при высоте в 2 раза меньше длины его квадратного основания.
Можно показать, что конструкция здания башенного типа, высота которого, например, в 2 раза больше длины стороны основания, потребует для своего строительства на 20% больше материала, чем здание, высота которого в 2 раза меньше длины основания.
Действительно, при найденном решении H = Y/2 площадь поверхности здания (4.8) будет равна
S = y2 + 4YЧH = y2 + 4YЧ Y/2 = 3Y2. (4.15)
Из (4.9) следует, что Y2ЧH = Y2Ч Y/2 = V*, откуда получим, что
Y = 3v2V*.
Подставив значение Y в (4.14), получим, что
S= 3(3v2V*)2 = 4,74(3vV*)2. (4.16)
А для варианта, когда высота в 2 раза больше стороны основания, т.е. H=2Y, получим, что S = 9Y2. Из (4.9) следует, что Y2ЧH = Y2Ч 2Y = V*, откуда получим, что Y = 3vV*/2. Подставив значение Y в (4.14), получим, что
S=9 (3vV*/2)2 = 5,69(3vV*2).
Таким образом, уменьшение площади, занимаемой зданием, и улучшение архитектурного вида района требует дополнительных затрат ресурсов.
Для вариант 2, когда учитывается расход материала на основание здания, целевая функция будет иметь следующий вид:
min S = 2y2+4YЧH. (4.17)
Решением задачи будет
H =Y, (4.18)
т.е. в этом случае оптимальной является кубическая форма здания, что хорошо известно из геометрии.
4.4 АНАЛИЗ И ВЫВОДЫ
1. При постановке задачи необходимо проверить, многовариантна ли задача, и обеспечить ее адекватность реальным условиям.
2. Постановка задачи включает в себя входные и выходные переменные, а также имеющиеся ограничения и целевую функцию. Ограничения определяют, какие решения являются допустимыми, а целевая функция определяет, какие из допустимых решений являются наилучшими. Для этого в целевую функцию входит критерий оптимальности, который указывает, максимальное или минимальное значение какого показателя должно быть найдено в результате решения задачи.
3. Перед применением математических методов надо определить возможность использования соответствующей теории. Например, надо определить, можно ли использовать математический анализ. Для этого надо доказать, что функции непрерывны в заданных границах изменения значений переменных.
4. Применение математических методов гарантирует оптимальность полученного решения и позволяет ускорить поиск решения за счет сужения области поиска решения.
4.5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое бизнес-система и бизнес-процесс?
2. Что собой представляет модель «черный ящик»?
3. Каким образом устанавливаются границы бизнес-процессов (БП)?
4. Как связано с границами БП его название?
5. Указать входы и выходы БП «Создание металлических емкостей».
6. Выполнить структурирование БП «Создание металлических емкостей».
7. Как критерий эффективности влияет на выбор варианта формы емкости?
8. В чем состоит сложность задачи выбора формы емкости с квадратным основанием?
9. Сделать математическую постановку задачи выбора формы емкости с квадратным основанием.
10. Какие теории и методы были привлечены для решения задачи?
11. В чем состоит отличие задачи оптимизации формы изделия и задачи совершенствования процесса его изготовления?
12. Перечислить этапы решения задачи оптимизации.
13. Сделать математическую постановку задачи оптимизации формы здания с квадратным основанием.
14. Проинтерпретировать результаты решения задачи оптимизации формы здания, имеющего квадратное основание, сравнив их с другими вариантами.
15. В чем состоит преимущество применения математических теорий и методов решения задач?
Глава 5. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ
5.1 ЗАДАЧИ И ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ
Для того чтобы управлять процессом создания проекта, операционный менеджер должен уметь решать следующие основные задачи:
1) составлять расписание исполнения проекта, определяющее плановые сроки начала и завершения всех работ проекта,
2) определять плановый бюджет проекта и распределение во времени запланированных затрат,
3) определять и оптимизировать потребности проекта в ресурсах (людях, механизмах, материалах) и распределение этих потребностей во времени,
4) анализировать риски и определять резервы по времени, стоимости, ресурсам, которые следует предусмотреть для надежного достижения целей проекта,
5) определять планы работ для ресурсов проекта,
6) вести учет исполнения работ проекта,
7) анализировать исполнение и своевременно информировать о возникающих проблемах,
8) оперативно прогнозировать параметры проекта при изменяющихся исходных данных (и для анализа «что если», и для корректировки планов оставшихся работ),
9) вести архивы проекта,
10) формировать необходимую отчетность.
Для решения этих задач широко используются следующие профессиональные программные средства:
- Primavera Project Planner (P3) и Primavera Project Planner Enterprise (P3e) американской компании Primavera Systems,
- Open Plan Professional американской компании Welcome Software Technologies,
- Spider Project Professional российской компании Технологии управления Спайдер.
Эти средства отличаются друг от друга возможностями моделирования работы ресурсов проекта, учета и моделирования рисков, структуризации проектной информации, управления совокупностью проектов.
Известный пакет Microsoft Project, являющийся чемпионом по продажам, относится к непрофессиональным пакетам, которые предназначены в основном только для отображения показателей проекта и подготовки представительной отчетности. Обычно их используют те, для которых управление проектами не является их бизнесом.
Для проведения учебных занятий по дисциплине «Операционный менеджмент» выбрана интегрированная система Spider Project Professional (SP), которая обладает рядом преимуществ по сравнению с другими подобными средствами.
Первоочередной задачей при использовании программных средств для планирования и осуществления проекта является разработка его компьютерной модели, которая должна адекватно отражать особенности работ, ресурсов, технологических и временных ограничений проекта.
5.2 ЗАДАНИЕ И МЕТОД ВЫПОЛНЕНИЯ
Задание. Построить компьютерную модель выполнения заказов с использованием системы Spider Project для исходного и оптимального плана по своему варианту задания в главе 2.
Состав работ по созданию компьютерной модели проекта. Для создания полной компьютерной модели реального проекта с помощью Spider Project (SP) необходимо выполнить следующие работы:
1. Укрупнено описать структуру работ проекта.
2. Составить перечень операций (работ, задач) проекта и задать их характеристики.
3. Составить перечень ресурсов проекта и задать их характеристики.
4. Задать взаимосвязи операций проекта.
5. Назначить ресурсы на исполнение операций проекта.
6. Задать составляющие стоимости, которые будут использованы для финансового анализа и управления проектом.
7. Задать стоимости на операции, ресурсы и материалы проекта.