Документ: Механика (статика). учебное пособие. Рябцев В.А, страницы 86-90

Материал: Механика (статика). учебное пособие. Рябцев В.А

Смотрите также:

Рис. 8.39

8.18. Вертикальная ось АВ подъемного крана (рис.8.38), вес которого равен G = 15 кН, может вращаться в подпятнике А и подшипнике В. Груз весом Q = 8,4 кН

поднимается при помощи веревки, перекинутой через блок Е и идущий к лебедке D, закрепленной на оси

крана (рис. 8.). Определить реакции подшипника и подпятника, если

центр тяжести С отстоит от оси вращения на расстояние, рав-

ное 0,9 м, АВ= 12 м, КЕ= 4 м.

	8.19. Однородная горизон-
	тальная балка (рис. 8.39) АВ длиной
	6 м и весом P1 = 2400 Н, закреплен-
	ная в неподвижной точке А шар-
	нирно, свободно опирается в точке
	С на подпорную балку СВ длиной 5
Рис. 8.40	м и весом P2 = 3200 Н. Балка CD ,
	составляющая с вертикалью угол

= 60 , закреплена в точке D при помощи неподвижного цилиндрического шарнира и удерживается в равновесии при помощи горизонтальной веревки ЕК, причем DE= 2 м. В точке В к балке приложена сила F =1200 Н, наклоненная к балке под

углом = 60 . Определить реакции шарниров А и D, силу натяжения веревки T и силу RC давления балки АВ на балку CD, если точки А и

Dлежат на одной вертикали.

8.20.Две однородные балки

Рис. 8.41 АВ= 4 м и весом P1 = 60 Н и ВС= 3 м и весом P2 = 40 Н соединены в

точке В шарнирно. Первая балка горизонтальна и концом А

181

заделана жестко, а вторая концом С свободно опирается на
гладкую поверхность, наклоненную к горизонту под углом		=
30 . Определить реакции в точках А и С, если	АВС= 120
(рис. 8.40).
8.21. Два груза А и В (рис. 8.41), массы которых равны
m1 и m2 , лежащие на наклонных поверхностях с углами		и

, связаны веревкой, перекинутой через блок О. Найти соотношение масс грузов при равновесии системы, если углы тре-

ния грузов о поверхности равен .

8.22. К вершинам C, B и D куба со стороной a приложены равные по

модулю силы P , S и Q , направлен-

ные соответственно по стороне ВЕ и по диагоналям DA и DK. Найти моменты каждой из из этих сил относи-

тельно координатных осей х, у, z (рис.

Рис. 8.42 8.42).

182

Глава 9. УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СИСТЕМ СИЛ

§9.1. Условие эквивалентности систем сил

Внастоящей главе рассмотрены некоторые свойства систем сил и теоремы, которые позволяют существенно упростить исследование систем сил и решение задач.

Совокупность нескольких сил называют системой сил. Для сокращения записи систему сил, состоящую из n

~

сил P1 , P2 , ,Pn , будем обозначать символом Pn .

Если на тело одновременно действуют две системы сил,
	~		~
например Pn		и	m , то полная система сил обозначается сим-
~	~	m ).
волом ( Pn ,		m ).
			~
Главным вектором произвольной системы сил Pn				назы-

вается вектор, равный векторной сумме всех сил системы

V

Pk .

(9.1)

~

Главным вектором моментом произвольной системы сил

Pn относительно некоторой точки О называется вектор, рав-

ный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки


MO	MO ( Pk ) .		(9.2)

Две системы сил называют эквивалентными, если они, будучи приложенными поочередно, каждая в отдельности к одному и тому же абсолютно твердому телу окажут одинаковое действие на тело.

183

Теорема 9.1. Для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы были равны их главные векторы и главные моменты относительно произвольной точки

Доказательство необходимости. Дано:


( P1 ,P2 , ,Pn )	( Ф1 ,Ф2 , ,Фm )		(9.3)
	~	~
или в сокращенной записи:	Pn	Фm . Надо доказать, равенст-

во главных векторов и главных моментов этих систем сил.


Рассмотрим систему сил - P1 ,			- P2 , …,	Pn где сила		Pk
приложена в той же точке, что и			(k = 1, 2, ..., n). Главные
приложена в той же точке, что и		Pk	(k = 1, 2, ..., n). Главные

векторы систем сил P и -	P обозначим символами VP				и V	P	,

а главные моменты- M0( P )	и M0(	P )	. Тогда


V P	P1	P2

M0( P )

( rk

Отсюда


Pn	( P1	P2

M0 (	Pk )	[ rk

Pk )	M0 ( Pk )


Pn )	VP ,

( Pk )]

M0( P ) .

равны нулю. Следовательно, в соответствии с теоремой о рав-

новесии произвольной системы сил рассматриваемая система
				~
является уравновешенной. Согласно условию (9.3) систему Pn
заменим эквивалентной системой	~m . Тогда снова получаем

уравновешенную систему сил	( Ф1 ,Ф2 , ,Фm ,		P1 ,	P2 ,

..., Pn ) 0 . По теореме о равновесии сил,		главный вектор и

главный момент последней системы должны быть равны нулю. Тогда, используя (9.4), получаем

184


	M0( P )	M0( )		M0( P )		M0( )	M0( P )	0 ,

	VФ, P		VФ	V P	VФ	VP	0 .
	Отсюда следует то, что и требовалось доказать: VФ							VP ,

M0(	) M0( P ) .
	Доказательство достаточности. Даны главные векторы и
главные моменты двух систем сил

	VФ		VP ,	M 0( Ф )		M 0( P )	(9.5)

Надо доказать, что системы сил эквивалентны. Учитывая

(9.4) и (9.5), получим, что главный вектор и главный момент

системы ( P1 ,	P2 , , Pn ,Ф1			,Ф2 , ,Фm )		равны нулю, т. е. эта
система сил находится в равновесии. Тогда

	V	P,Ф	V	P VФ	VP	VФ	0 ,

M0( P,Ф )		M0( P )		M0( Ф )	M0( P )		M0( Ф )	0 .

Согласно третьей аксиоме, уравновешенную систему сил

можно присоединять и исключать, не изменяя действие других

~

сил на тело. Присоединим к системе Pn

уравновешенную сис-

~

m )

тему сил (- Pn ,

0, а затем исключим уравновешенную

~

систему (- Pn , Pn )

0:

( P1

,P2

, ,Pn )

( P1

,P2

, ,Pn , P1

, P2 ,

...,

Pn ,Ф1

,Ф2

, ,Фm )

(Ф1 ,Ф2

, ,Фm ) .

~

Итак, системы Pn

и

m

эквивалентны, что и требовалось

доказать.

Примечание. Если система сил плоская, то главные момент системы относительно данного центра, расположенного в

185

т. е. главный вектор и главный момент системы сил ( P , -