Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В

рии и методам решения задач нахождения условного экстремума и характеризующаяся линейной зависимостью между переменными.

Примеры задач линейного программирования

1. Задача планирования производства

Фирма выпускает четыре вида персональных компьютеров (табл. 7).

Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить фирме, чтобы доход за месяц был бы максимальным. Построить экономико-математическую модель задачи.

Решение. Обозначим через х1 – количество изделий вида , которое должна выпустить фирма; х2 – количество изделий вида ; х3 – количество изделий вида ; х4 – количество изделий вида .

Найдем затраты времени на производственный процесс в цехах (они не должны превышать располагаемый фонд времени)

Доход за месяц должен быть максимизирован:

80

Выпускается только выгодная продукция (в этом случае хi > 0), а невыгодная не производится (тогда хi = 0). Отсюда условие неотрицательности переменных

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0. (4.3)

Выражения (1.1), (1.2) и (1.3) составляют экономикоматематическую модель задачи линейного программирования.

Для представления задачи в символьном виде введем обозначения:

Хj – количество выпускаемых изделий j-го типа, j = 1, n ;

n – количество типов изделий;

аij – затраты времени на единицу j-го типа изделия в i-м цехе,

i = 1, m ;

m – количество производственных подразделений (цехов); bi – ресурс рабочего времени для i–го цеха;

Сj – доход от реализации единицы j–го типа изделия. Тогда модель можно записать в следующем виде:

а11 X1 + а12 X2 + а13 X3 + а14 X4 b1,

а21 X1 + а 22 X2 + а23 X3 + а24 X4 b2,

а31 X1 + а 32 X2 + а33 X3 + а34 X4 b3,

f(x) = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4 max, X1, X2, X3, X4 0.

2. Задача оптимального использования ресурсов

Предприятие выпускает n различных видов изделий. Для их производства требуется m различных видов ресурсов.

Ресурсы ограничены bi единицами (i = 1, m ). Известны техно-

логические коэффициенты аij, которые указывают, сколько единиц i–го ресурса требуется для производства единицы из-

делия j–го вида (i = 1, m ; j = 1, n ). Прибыль от реализации еди-

ницы изделия j–го вида равна Сj.

Составить программу выпуска (план) продукции, при реализации которой прибыль была бы максимальной.

81

Обозначим через Хj – объем выпуска изделий j–го вида. Найдем расход ресурсов i–го типа на все виды изделий

а11 Х1 + … + а1j Хj +…+ а1n Хn b1,

……………………………………

аi1 Х1 + …+ аij Хj + … + аin Хn bi,

……………………………………

аm1 Х1 + … + аmj Хj + … + аmn Хn bm.

Прибыль от реализации

f(x) = C1 X1 + …+ Cj Xj + …+ Cn Xn max.

Условия неотрицательности получаемого решения

Xj 0, (j = 1, n ).

3. Задача оптимального распределения заданий по участкам производства

Необходимо спланировать программу выпуска однородной продукции в n производственных подразделениях, которые различаются по мощности и по технологическому процессу. Для изготовления этой продукции требуется m видов

ресурсов, запасы которых ограничены.

Обозначим через аij коэффициенты расхода i–го вида

ресурса (i = 1, m ) в j–м подразделении в единицу времени, через bi – запасы i–го ресурса, а Cj – показатели производитель-

ности j–го подразделения (j = 1, n ). Оптимальный план должен обеспечить максимальный объем выпуска продукции.

82

Пусть Хj – время работы j–го подразделения при выполнении производственного задания.

Суммарный расход ресурсов

а11 X1 + … + а1j Xj +…+ а1n Xn b1,

………………………………………………

аi1 X1 + …+ аij Xj + … + аin Xn bi,

………………………………………………

аm1 X1 + … + аmj Xj + … + аmn Xn bm.

Максимальный выпуск продукции

f(x) = C1 X1 + …+ Cj Xj + …+ Cn Xn max.

Условие неотрицательности решения

Xj 0, (j = 1, n ).

4. Задача составления оптимальной смеси (задача диеты)

Для производства продукции используется n различных материалов, включающих в себя ряд различных компонентов (ингредиентов, элементов). Качество продукции определяется содержанием в ней различных компонентов в определенном количестве (никак не меньшем). Известны коэффициенты аij – удельный вес i–го компонента в единице j–го исходного материала; bi- необходимое содержание i–го элемента в смеси; Cj - цена единицы j–го материала.

83

Обозначим через Хj количество j–го материала, входящего в смесь (в готовый продукт). Тогда

а11 X1 + … + а1j Xj +…+ а1n Xn b1,

……………………………………………

аi1 X1 + …+ аij Xj + … + аin Xn bi,

……………………………………………

аm1 X1 + … + аmj Xj + … + аmn Xn bm.

Функция цели – минимальные затраты на материалы

f(x) = C1 X1 + …+ Cj Xj + …+ Cn Xn min.

Условие неотрицательности решения

Xj 0, (j = 1, n ).

5. Распределительная задача: о размещении парка оборудования по участкам производства

Имеется n типов оборудования, которое должно быть использовано на m участках. Известно: число единиц оборудования каждого j–го типа (dj); производительность оборудования j–го типа на i–м участке (аij); затраты на эксплуатацию единицы оборудования j–го типа на i–м участке (Cij). Задан объем работы, который необходимо выполнить на каждом участке (bi). Требуется так распределить парк оборудования, чтобы расходы на эксплуатацию были бы минимальными.

84