Материал: Линейные и нелинейные режимы лазерного нагрева

где у и z - координаты точки, лежащей в плоскости, проходящей через центр источника перпендикулярно направлению его перемещения, а время t отсчитывается от момента, когда нормально-линейный источник пересечет эту плоскость. Наибольшая температура достигается на оси тела:

                 (65)

В начале процесса (t₀ >> t) температура понижается обратно пропорционально , в конце процесса при t₀ << t - обратно пропорционально t [15].

4. Нелинейные режимы лазерного нагрева

Рассмотрим некоторые нелинейные задачи, возникающие при нагреве материалов ЛИ. Большинство из задач воздействия высококонцентрированных источников следует рассматривать в нелинейной постановке.

К нелинейным задачам переноса тепла относятся задачи, в которых одна из перечисленных ниже величин зависит от температуры: коэффициент теплопроводности; коэффициент удельной теплоемкости; коэффициент теплоотдачи; тепловой поток на поверхности; внутренние источники (стоки) тепла; положение границ тела [10].

Для краткости можно называть задачи, в которых теплофизические коэффициенты зависят от температуры, задачами с нелинейностями 1-го рода; задачи, в которых нелинейными являются граничные условия - задачами с нелинейностями II-го рода; задачи, в которых источники тепла зависят от температуры - задачами с нелинейностями III-го рода.

В процессах нагрева материалов ЛИ встречаются задачи с нелинейностями I, II и III-го рода. Если плотность потока ЛИ не превосходит Q_c⁽¹⁾, то наиболее важными являются задачи с нелинейностями I и II-го рода, когда необходимо учитывать температурную зависимость теплофизических постоянных (задачи I-го рода) и температурную зависимость оптических постоянных и, следовательно, интенсивности ЛИ (задачи II-го рода). Если же плотность потока ЛИ превосходит Q_c⁽¹⁾, то по прошествии некоторого времени t_c необходимо рассматривать задачи с нелинейностями III-го рода - задачи о нахождении положения границ раздела фаз, называемые стефановскими.

Наиболее общей является задача, в которой все три вида нелинейностей присутствуют одновременно. Поскольку существует определенная трудность получения решения задачи даже при наличии одного из указанного вида нелинейностей, то рассматривать одновременно нелинейности I, II и III-го рода не будем.

Кратко остановимся на методах, используемых для учета нелинейностей в задачах нагрева материалов.

Подстановка типа

             (66)

применяется в том случае, когда коэффициент теплопроводности k¢=k¢(T). Эта подстановка называется преобразованием Кирхгофа (или преобразованием Варшавского) и позволяет линеаризовать нелинейность в стационарном уравнении теплопроводности и перенести ее в граничное условие, если оно является граничным условием III-го рода. Граничные условия II-го рода, представляющие наибольший интерес для процессов обработки лучом ОКГ, остаются неизменными. Нестационарные уравнения теплопроводности с помощью подстановки уравнения (66) изменяют вид, поскольку в них появляются нелинейные слагаемые.

Подстановка Гудмена

                       (67)

обычно используется для учета температурной зависимости теплоемкости с = с(Т).

Для неограниченных и полуограниченных тел иногда применяют подстановку (или преобразование) Больцмана:

                     (68)

которая позволяет перейти от уравнения в частных производных к уравнению в полных производных относительно переменной.

К числу распространенных методов решения нелинейных задач I-го рода относятся методы, использующие возможности аналоговой вычислительной техники. При этом обычно используют следующие приемы:

- упрощают или линеаризуют основное уравнение с помощью подстановок Кирхгофа или Гудмена;

- изменяют в соответствии с законами k¢(T), с(Т) и γ(Т) сопротивления, емкости или другие электрические устройства в аналоговых машинах;

- вводят в электрическую модель дополнительные токи, вызывающие такую же реакцию, какую вызывает учет нелинейностей другими способами.

Рассмотренные методы не являются единственными. При учете нелинейностей I-го рода нашли применение такие методы, как интегральный метод, метод итераций и др., на которых не будем останавливаться.

Нелинейности II-го рода. Произвольную зависимость Q(T) можно практически учесть только с помощью аналоговых методов или метода сеток. Для термически тонких тел (тела, для которых справедливо неравенство Bi < 0,25, где Bi - число Био) задача может быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению. Если тело нельзя рассматривать как термически тонкое, то для ряда случаев температурное поле тела конечных размеров может быть скоординировано распределением температуры вдоль координатных осей либо по поверхности тела. Вид координатной связи определяется условиями протекания процесса. При расчетах температурного поля также используется зональный метод, который состоит в последовательном определении температуры «по шагам во времени», т.е. по известному распределению в (m - 1)-й момент определяется распределение в m-й момент времени. Другим методом, развитым В.В. Ивановым и Ю.В. Видиным [10], является использование нелинейных интегральных подстановок, в результате которых исходное линейное дифференциальное уравнение преобразуется в нелинейное. В этом уравнении при выполнении ряда условий нелинейная часть может быть отброшена, что позволяет найти приближенное решение с известной степенью точности. Такой метод использован для решения задачи нагрева тела с учетом зависимости поглощательной способности от температуры.

Другими способами отыскания решений задач с нелинейностями II-го рода являются вариационные методы, интегральный метод [67], метод итераций, конечных разностей и др.

Нелинейности III-го рода. К задачам с нелинейностями III рода относятся задачи, в которых мощность источников, действующих внутри тела и на границе, зависит от температуры. К их числу относятся задачи, называемые в литературе задачами типа Стефана. Это задачи, в которых положение подвижной границы фаз и мощность источников тепла зависят от температуры (или диапазона температур) фазового перехода [6, 68].

Для решения задач Стефана применяются вариационные методы, интегральный метод, методы конечных разностей и сеток, метод подстановок, метод прямых, метод анализа размерностей и др.

Рассмотрим влияние температурной зависимости оптических постоянных металла на характер его нагрева ЛИ. Поглощательная способность металла А является функцией температуры, что относит ее к задачам с нелинейностями II-го рода. В первом приближении А ~ T₀, где T₀ - температура поглощающей поверхности. При учете аномального скин-эффекта [69, 70] A имеет вид

А = а₀ + bТ,                            (69)

где a₀ = 0,75 u₀/c; b = W/2ps₀; u₀ - скорость электрона проводимости на поверхности Ферми; с - скорость света; Ω - плазменная частота; σ₀ - статическая электропроводимость металла (причем, А для большинства металлов зависит от температуры линейно, т.е. рассматриваемая задача - линейна).

Обычно α₀ << bT и первым слагаемым в уравнении (69) можно пренебречь. Задача о нагреве металла для одномерного случая при переменной поглощательной способности формулируется следующим образом [70]:

               (70)

                  (71)

где α - коэффициент поглощения; T_i - начальная температура металла.

Отметим, что α в этом же приближении не зависит от температуры. Решение задачи (70), (71) с учетом уравнения на поверхности нагрева z = 0 имеет вид для двух крайних случаев (больших и малых значений параметра S, где S = 4bQ₀/αk¢):

            (72)

(73)

где A₀ = A(T_i) - начальное значение поглощательной способности.

Температуру поверхности и ее изменение со временем для случая, когда поглощательная способность не зависит от времени, можно получить из уравнения (72) при b® 0:

(74)

Учет температурной зависимости поглощательной способности металла приводит к следующим особенностям в процессе нагрева.

При S >> 1 возникает режим нагрева, не имеющий аналога в задаче с постоянным значением А = А₀. При S << 1 (наиболее часто реализуемый случай) имеются два режима нагрева. Если bQ₀t/(c_pa^0,5) << 1, то увеличение температуры поверхности со временем происходит в соответствии с формулой (74), т.е. учет зависимости Α(τ) для отрезков времени τ << (c_pa^0,5)/bQ₀ несущественен.

Если τ >> (c_pa^0,5)/bQ₀, то из уравнения (73) можно получить

           (75)

Из сравнения уравнений (74) и (75) следует, что, начиная с момента τ>> (c_pa^0,5)/bQ₀, наблюдается существенное различие между случаем, когда А = А₀ и случаем, когда A = Α(τ). Для первого случая Т ~ , для второго

Практически изменение температуры выходит на экспоненциальную зависимость (75), начиная с момента времени

t @ 2/[]

Учет температурной зависимости А изменяет плотность потока, необходимую для достижения заданной температуры поверхности к концу импульса (например, Т_П). Для серебра, согласно оценкам, приведенным в литературе [70], при учете температурной зависимости A Q_c⁽¹⁾=9×10⁵ Вт/см² (τ_i = 10^-3 с), без учета этой зависимости Q_c⁽¹⁾ = 3×10⁶ Вт/см

Задачу о нагреве материала с учетом температурной зависимости А(Т) можно рассмотреть в пространственной постановке. В общем случае нагрева материалов температурная зависимость поглощательной способности в виде уравнения (69) представляется оправданной для многих материалов, что следует из анализа экспериментальных данных, если учесть значительный разброс опытных точек и существенную зависимость поглощательной способности от состояния поверхности и других аналогичных факторов, трудно поддающихся количественному контролю.

Значения коэффициентов a₀ и b (коэффициенты a₀ и b взяты из опытных данных при экстраполяции температурной зависимости - A(T) в диапазоне температур ниже Т_П) для некоторых веществ приведены в табл. 3.

Таблица 3

Диапазон изменения температуры не превышает точки плав-ления и измеряется в К.

Для неметаллических материалов возможно падение поглощательной способности с ростом температуры.

Рассмотрим случай, когда падающий поток осесимметричен, а интенсивность в нем распределена по закону Гаусса. Поглощение будем считать поверхностным. Если не рассматривать фазовых переходов, потерь тепла с поверхности нагрева и температурной зависимости теплофизических коэффициентов, то задача о нагреве формулируется следующим образом:

      (76)

Если ввести безразмерные величины по формулам

    (77)

то уравнения (76) принимают вид

      (78)

Из уравнений (78) следует, что в безразмерном виде система зависит только от одного параметра β, пропорционального коэффициенту b, характеризующему степень отклонения поглощательной способности от постоянной величины.

Вводя новую неизвестную функцию v по формуле

                         (79)

переходим от системы (78) к системе, нелинейной относительно v:

 (80)

Такая замена позволяет получить при реальных значениях β и τ удобную аппроксимацию решения задачи (79). Для решения системы уравнений (80) используем метод последовательных приближений:

        (81)

                  (82)

        (83)

Первое приближение получается при решении уравнения (81) без нелинейных членов с условиями (82) и (83). Когда параметр β не превосходит по абсолютной величине несколько единиц, то, как показывает аналитическая оценка, отклонение v₂ от v₁ составляет не более 15 %, уменьшаясь с убыванием β и τ. Это связано с тем, что почти всюду ¶v¤¶x < 1 и ¶v¤¶r < 1 их квадрат тем более невелик.

Первое приближение уравнений (81), (82) совпадает с решением для нормально-кругового источника и в переменных ρ, ξ, τ имеет вид

 (84)

В центре пятна нагрева

               (85)

Максимальная температура определяется с помощью выражения

               (86)

Возвращаясь по формулам (77) к размерным величинам, переходим к выражению для потока, необходимого для достижения некоторой температуры Т₁ за время t в центре пятна нагрева:

    (87)

где А₁ - поглощательная способность при температуре Т₁.

Предельный переход в уравнении (87) при Α₁ ® Α₀ приводит к выражению для потока Q*₀, соответствующего постоянной поглощательной способности А*:

                   (88)

Формулы (87) и (88) позволяют ответить на вопрос, какой должна быть постоянная поглощательная способность , чтобы при одинаковых потоках за одно и то же время получить такую же максимальную температуру, как в задаче с переменной поглощательной способностью? Из равенства Q₀ = Q₀* следует формула усреднения