Материал: Линейные и нелинейные режимы лазерного нагрева

Выражение (20) может быть использовано при оценке критической плотности потока, превышение которой нежелательно в процессах термической обработки.

С помощью одномерной модели нагрева полубесконечного тела источником тепла постоянной интенсивности можно найти время достижения на поверхности материала температуры Т_П:

                 (21)

Время достижения на поверхности материала заданной температуры возрастает с увеличением температуры плавления, теплопроводности k¢ и объемной теплоемкости материала и уменьшается с ростом плотности потока. В частности, для меди при Q₀ = 10⁶ Вт/см² τ_П = 10^-5 с, при Q₀ = =10⁷ Вт/см² τ_П = 10^-7 с. Аналогично может быть оценена плотность потока, требуемая для достижения на поверхности материала температуры Т_К:

                        (22)

При достижении на поверхности материала температуры Т_К начинается интенсивное испарение. Например, для меди (Т_К = 2 300 °С) Q_c⁽²⁾= 2,1×10⁵ Вт/см

Выражение (22) может быть использовано для определениия критической плотности потока Q_c⁽²⁾ при сварке материалов лучом лазера, поскольку для большинства случаев испарение материала из зоны плавления нежелательно.

Оценка плотности потока, при которой за время импульса существенно развитие процессов испарения, может быть выполнена, если использовать следующие соображения [61].

В процессе поверхностного нагрева в глубь материала распространяется тепловая волна и волна испарения. Если плотность потока мала, то скорость тепловой волны u_Т существенно выше скорости волны испарения u_И. При увеличении плотности потока скорость испарения растет и при некотором значении Q_c⁽³⁾ сравнивается со скоростью нагрева. Это равенство можно использовать для оценки Q_c⁽³⁾, поскольку u_Т ~ (k*/t_i)^1/2 и u_И ~ Q_c⁽³⁾/Lr, где L - удельная теплота испарения. Отсюда, приравнивая u_Т и u_И, получим

_c⁽³⁾ = Lr (k*/t_i)^0,5.           (23)

Численные оценки для Q_c⁽³⁾ для различных материалов представлены в табл.

Критическая плотность потока Q_c⁽³⁾ тем выше, чем больше теплота испарения и коэффициент температуропроводности материала и меньше длительность импульса излучения. Для большинства металлов справедливы неравенства Q_c⁽¹⁾ < Q_c⁽²⁾ < Q_c^(3).

Используя простые соотношения одномерной модели нагрева полубесконечного тела источником тепла постоянной интенсивности, оценим скорости нагрева и охлаждения материала. Соотношение для скорости нагрева u_Н получим, дифференцируя функцию (13) пο τ:

 (24)

где   

В частности, на поверхности нагрева z = 0 при τ = t

                   (25)

Из уравнения (25) следует, что скорость нагрева линейно возрастает с увеличением плотности потока, уменьшается с ростом теплопроводности k¢, объемной теплоемкости материала сr и при увеличении времени действия источника тепла.

Таблица 2

На рис. 1 представлена зависимость скорости нагрева от времени действия при различных значениях плотности потока.

Рис. 1.                                    Рис. 2

Для нахождения температурного поля в этом случае воспользуемся понятием стока [3]. Под стоком условимся понимать источник тепла с отрицательной интенсивностью, равной интенсивности источника, включенный на время t_i позднее источника. Тогда одномерное температурное поле полубесконечного тела от действия источника тепла постоянной интенсивности может быть представлено для t ³t_i в виде

 (26)

Отсюда для скорости охлаждения υ_О поверхности z = 0 после окончания действия импульса получим при τ = t

    (27)

Расчетный график для скорости охлаждения при t > τ поверхности тела при различных Q₀ в зависимости от времени показан на рис. Скорость охлаждения, как и скорость нагрева, линейно зависит от плотности потока Q₀. Используя соотношение (27) для температурного поля от действия нормально-кругового источника на поверхности полубесконечного тела, можно получить формулу для скорости нагрева u_НК материала:

 (28)

С введением стока тепла получим соотношение для нагрева полубесконечного тела нормально-круговым источником тепла конечной длительности t_i. Используя уравнение (27), получим для t ³ t_i

 (29)

Дифференцируя функцию (29) по t, получим соотношение для скорости охлаждения:

 (30)

Расчетные графики скоростей нагрева и охлаждения при действии нормально-кругового источника на поверхности полубесконечного тела представлены на рис. 3 при τ = t.

Таким же путем могут быть получены соотношения для скоростей нагрева и охлаждения при действии источника тепла, равномерно распределенного по пятну нагрева радиусом r_f. Приведем расчетную формулу для скорости нагрева источником тепла с равномерным распределением интенсивности по пятну радиусом r_f:

 (31)

где I₁(u) и I₀(u) - соответственно функции Бесселя первого и нулевого порядков от мнимого аргумента. Интеграл, входящий в уравнение (31), для различных значений r_f, r, k* и τ может быть найден численными методами.

Рис. 3                                     Рис. 4

Рассмотрим выражения для градиентов температуры при нагреве полубесконечного тела поверхностным источником тепла с постоянной интенсивностью. Дифференцируя по z функцию, описываемую уравнением (12), получим формулу для температурного градиента:

¶T(z, t)/¶z = - Q₀[erfc 0,5z/(k*t)^0,5]/k¢.               (32)

На поверхности тела при z = 0, τ > 0 градиент температуры имеет постоянное значение, не зависящее от времени:

¶T(0, t)/¶z = - Q₀/ k¢.                       (33)

График распределения температурного градиента по глубине тела при различных Q₀ для некоторых материалов показан на рис. 4. Из численных оценок следует, что градиент температуры достаточно быстро уменьшается с ростом глубины. На поверхности тела градиент температуры достигает весьма больших значений. Для меди при Q₀ = 10⁶ Вт/см² ¶T(0,t)/¶z = 3×10^{5 О}C/см, а при Q₀ = 10⁷ Вт/см² ¶T(0,t)/¶z = 3×10^{6 О}C/см. Зная температурные поля материала и температурные градиенты, можно оценить размеры области, эффективно нагретой источником тепла, - зоны термического влияния.

Для качественных оценок может быть использовано простейшее соотношение d_т ~ (k*t_i)^0,5, где d_т - размер зоны термического влияния.

Для значительного числа материалов нельзя считать источник поверхностным. В последующем изложении получим критерий, на основании которого можно рассматривать источник тепла либо как поверхностный, либо как объемный.

Поглощенная часть светового потока убывает с ростом глубины по экспоненциальной зависимости (закон Бугера), т.е. изменение мощности теплового источника Ρ(z) по глубине может быть описано формулой

Р(z) = Р₀ ехр(-az),                           (34)

где a - коэффициент поглощения (cм^-1).

Решение одномерной задачи о нагреве полубесконечного тела источником тепла, мощность которого описывается формулой (34), полученное с помощью преобразования Лапласа по времени, имеет вид

 (35)

Для импульсного источника тепла, действующего в объеме материала в течение времени τ_i, температурное поле может быть найдено с помощью стока, сдвинутого относительно источника тепла на время τ:

(36)

Уравнения (35) и (36) позволяют найти распределение температуры в различных точках тела и скорости нагрева, охлаждения и температурные градиенты в материале.

Рассмотрим частные случаи уравнений (35) и (36).

Если глубина проникновения излучения d = a^-1 много больше, чем толщина прогретого слоя ~ (k*t)^0,5, т.е. справедливо неравенство a(k*t)^0,5 << 1, то

                            (37)

или на поверхности z = 0

                       (38)

температура растет линейно со временем. Для таких материалов, как феррит (a = 2×10³ см^-1, k* = 5×10^-3 см²/с), выражения (37) и (38) справедливы при τ < 10^-4 с.

Если справедливо неравенство a(k*t)^0,5 >> 1, то тепловой источник можно считать поверхностным и температурное поле описывается уравнением (12). Для таких материалов, как феррит, указанное условие справедливо для моментов времени τ >> 10^-4 с. Для металлов неравенство a(k*t)^0,5 >>1 справедливо в большинстве случаев.

Критическая плотность мощности для начала разрушения материала, интенсивность теплового источника в котором изменяется по закону Бугера (34), может быть найдена с помощью соотношения (35)

 (39)

Например, для феррита (коэффициент отражения равен 0,23) критическая плотность потока, подсчитанная по формуле (39), составляет величину 3×10⁴ Вт/см Для учета пространственного распределения интенсивности теплового потока при объемном поглощении излучения в материале сформулируем задачу в безразмерных переменных следующим образом [62]:

                           (40)

где

А₁ = r_f²×Q₀ a/k¢T_пр - безразмерные параметры.

В качестве T_пр может быть выбрана температура предельного состояния, достигаемая при F₀ ® ¥, в центре осесимметричного источника на поверхности непрозрачной среды - соотношение (40).

Решение уравнения (40), найденное с помощью интегральных преобразований Лапласа по F₀ и Ханкеля по r, имеет вид

 (41)

Выражение (41) достаточно сложное, однако при малых F₀, соответствующих большим r_f или малым τ, оно упрощается. Можно показать, что при F₀ << 1 выражение (41) принимает вид

 (42)

Из выражения (42) следует, что при малых значениях F₀ температурное поле материала определяется произведением функции, описывающей распределение интенсивности источника тепла в пятне нагрева, на соответствующее решение одномерной задачи. Для центральной точки пятна нагрева из соотношения (41) можно получить [62, 63]

,    (43)

где    e_r = g(F₀)^0,5.

Начальные стадии нагрева тел поверхностными или объемными источниками тепла характеризуются тем, что форма зоны нагрева соответствует виду пространственного распределения источника тепла. Математически этому соответствует тот факт, что для начальных стадий формула, описывающая температурное поле, может быть представлена в виде произведения двух сомножителей, один из которых описывает функцию пространственного распределения. Этот факт может быть использован для нахождения радиального распределения интенсивности теплового источника при действии ЛИ на материалы, претерпевающие фазовые переходы в твердом состоянии, а также для оценки среднеинтегрального за импульс коэффициента поглощения [4].

Рассмотрим предельный случай выражения (41) при больших значениях времени (F₀ ® ¥). Для непрерывно действующего источника тепла максимальная температура в точке (0, 0, ¥) определяется формулой

                  (44)

Из формулы (44) следует, что максимальная температура определяется двумя безразмерными параметрами а₁ и γ (поскольку β - число). Отсюда вытекает, что «близость» источника к поверхностному источнику определяется не отдельно взятым значением коэффициента поглощения, а произведением его на радиус фокального пятна. Аналогично степень приближения теплового источника к точечному зависит не только от радиуса фокального пятна г_f, но и от коэффициента поглощения среды.

Этот факт наиболее отчетливо следует из графика зависимости θ_m от параметра γ (рис. 5).

Для γ ³ 15 источник тепла можно считать практически поверхностным. Для металлов при a ~ 10⁴ см^-1 r_fs ~ 15 мкм, где r_fs - радиус пятна нагрева, при превышении которого для металлов источник является поверхностным. Для коротких импульсов излучения соответствующее значение γ зависит от F₀, т.е. от длительности импульса.

Рис. 5. Зависимость θ_m oт параметра γ