Материал: Лекция_колебания
Гармонические колебания груза на пружине.
Постановка задачи: груз массой m
висит в вертикальном положении на легкой пружине с жесткостью k . Груз смещают вниз на расстояние A0 относительно положения равновесия и отпускают. Получить уравнение колебаний, найти период и частоту колебаний, найти решение уравнения колебаний с учетом начальных условий. Трением пренебречь.
11
l l0 l0
mg k l l0 k l0 , l l0 l0 x
max mx k l l0 mg kx
Дифференциальное уравнение гармонических
колебаний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
m |
|
|
x 2 x 0, |
2 |
|
, |
T 2 |
|
|||
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
m |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение x t A cos 0 t 0 Решение с учетом начальных условий
x t A0 cos 0 t , |
x 0 A0 , |
x 0 0 |
vx t A0 0 sin 0 t |
12 |
|
Кинетическая и потенциальная энергии при гармонических колебаниях на примере горизонтальных колебаний груза на пружине.
Кинетическая энергия
K |
mx2 |
|
|
1 |
m 2 A2 |
sin2 |
|
t |
|
1 |
m 2 A2 |
|
1 cos 2 |
t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Потенциальная энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
П |
kx2 |
|
|
1 |
kA2 cos2 |
|
|
t |
|
|
1 |
|
kA2 |
1 cos 2 |
t |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Полная механическая энергия |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
E K П |
|
1 |
kA2 |
|
1 |
m |
2 A2 |
const |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для гармонических колебаний |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
П |
|
1 |
kA2 |
|
1 |
E |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
13 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий подход к описанию гармонических колебаний механических систем с одной степенью
свободы. |
|
|
|
|
|
|
|||
q |
- |
обобщенная |
координата |
(угол |
поворота, |
||||
смещение). |
|
|
|
|
|
|
|||
q |
- |
обобщенная |
скорость |
(угловая |
скорость, |
||||
скорость смещения). |
|
|
|
|
|
||||
|
Кинетическая и потенциальная энергии |
||||||||
|
|
K |
1 |
q2 , |
П |
1 |
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
Уравнение |
гармонических |
колебаний для |
||||||
обобщенной координаты q |
можно получить из |
||||||||
закона сохранения энергии . Частота колебаний
0 /
14
Математический маятник – тело небольших размеров, подвешенное на легкой нерастяжимой нити длиной l в поле тяжести Земли.
q |
- |
угол отклонения от вертикали |
|
|
||||||
q |
- |
мгновенная угловая скорость |
|
|
||||||
Кинетическая |
и потенциальная энергии (для |
|||||||||
малых углов) |
|
|
|
|
|
|||||
K |
1 |
ml 2 2 , |
П mgl 1 cos |
1 |
mgl 2 |
|||||
|
|
|
||||||||
|
2 |
2 |
||||||||
Энергия системы |
|
|
||||||||
|
|
|
E |
1 |
ml 2 2 |
1 |
mgl 2 const |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
Уравнение колебаний и период колебаний
g / l 0, |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
g / l , T 2 l / g |
||||
|
|
15 |
||||