Материал: Лекция по Динамике

, (6.2)

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

, , .

Теорема (в интегральной форме). Изменение количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до получаем:

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

, , .

Законы сохранения количества движения.

1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю ( ), то количество движения системы постоянно по величине и направлению.

2. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю ( ), то проекция количества движения системы на эту ось является постоянной величиной.

Теорема о движении центра масс.

Теорема Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе.

, следовательно

Момент количества движения системы.

Моментом количества движения системы материальных точек относительно некоторого центра называется векторная сумма моментов количества движения отдельных точек этой системы относительно того же центра

Моментом количества движения системы материальных точек относительно какой-либо оси , проходящей через центр , называется проекция вектора количества движения на эту ось .

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.

Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения.

Теорема об изменении момента количества движения системы.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.

(6.3)

Доказательство: Теорема об изменении момента количества движения для точки имеет вид:

,

Сложим все уравнений и получим:

или ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-либо оси, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (6.3) на эту ось. Для оси это будет выглядеть так:.

(6.4)

Теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс. (без доказательства)

Для осей движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

Законы сохранения момента количества движения.

1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю ( ), то момент количества движения системы относительно точки постоянен по величине и направлению.

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю ( ), то момент количества движения системы относительно этой оси является постоянной величиной.

Кинетическая энергия системы.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.

Теорема Кенига. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс.

Доказательство: Рассмотрим движение механической системы относительно двух систем координат. Одна система неподвижна, другая, с началом в центре масс системы, перемещается относительно первой поступательно.

, - радиус-вектор и абсолютная скорость точки соответственно;

, - радиус-вектор и абсолютная скорость центра масс системы соответственно;

, - радиус-вектор точки относительно центра масс и относительная скорость этой точки соответственно.

, (так как переносное движение поступательное)

Так как , то

или

Кинетическая энергия твердого тела.

1. Поступательное движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.

, - скорость любой точки твердого тела

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

, - угловая скорость вращения твердого тела.

3. Плоское движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения..

, - скорость центра масс твердого тела, - угловая скорость вращения твердого тела.