Материал: Лекция по Динамике

; следовательно

Вторая или обратная задача:

Известна масса точки и действующая на точку сила, необходимо определить закон движение этой точки.

Рассмотрим решение этой задачи в декартовой системе координат. Сила зависит от времени, координат точки, ее скорости и других причин.

, ,

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных:

Каждая из координат движущейся точки после интегрирования системы уравнений зависит от времени и всех шести произвольных постоянных, т.е.

К этим уравнениям необходимо добавить начальные условия:

,

,

Используя эти начальные условия можно получить шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных .

Основные виды прямолинейного движения точки

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Оx имеет вид:

, Начальные условия , .

Наиболее важные случаи.

1. Сила постоянна.

Имеем равнопеременное движение (движение с постоянным ускорением)

2. Сила зависит от времени.

3. Сила зависит от координаты или скорости.

Силу, зависящую от координаты х , создают упругие тела при их деформации (например, сжатая или растянутая пружина).

Сила, зависящая от скорости движения , это сила сопротивления (воздуха, воды и т.д.)

В этих случаях решение задачи упрощается.

Лекция 2

Краткое содержание: Свободные колебания без сопротивления. Понятие о фазовой плоскости. Свободные колебания в поле постоянной силы. Параллельное включение упругих элементов. Последовательное включение упругих элементов. Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс. Свободные колебания с вязким сопротивлением. Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.

Свободные колебания без сопротивления

Существуют устройства (упругие элементы), которые создают силу пропорциональную их удлинению. , Эту силу называют восстанавливающей или центральной силой. Коэффициент пропорциональности называется жесткостью упругого элемента.

Дифференциальное уравнение движения точки с массой , закрепленной на упругом элементе, имеет вид:

Рис. 2-1

или , где

Начальные условия имеют вид: при , .

Это дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки без сопротивления.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Корни характеристического уравнения равны:

Решение имеет вид:

- амплитуда колебаний;

- круговая или циклическая частота колебаний (собственная частота). Измеряется в

- фазовый угол (или просто фаза).

- период колебаний.

- частота колебаний (1 кол./cек=1 Гц)

Рис. 2-2

Движение материальной точки – это свободные гармонические колебания с постоянной амплитудой. Амплитуда колебаний зависит от начальных условий и круговой частоты.

Понятие о фазовой плоскости

Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.

Состояние системы в любой фиксированный момент времени определяется парой соответствующих значений и и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат , , если откладывать по оси абсцисс координату , а по оси ординат –скорость . Такая плоскость называется фазовой.

В процессе движения рассматриваемой системы величины и изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.

Для построения фазовой траектории при заданном законе движения нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости , а затем исключить время из двух уравнений: , .

Функция и описывает фазовую траекторию данного движения.

Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости.

Совокупность фазовых траекторий , которая описывает все возможные движения данной системы, называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы.

Для свободных гармонических колебаний , а . Исключая из этих выражений время получаем

.

Это уравнение эллипса. Его полуоси зависят от амплитуды и круговой частоты.

Рис. 2-3