Материал: Лекция№2 Задэлектр

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля.

Потоком вектора магнитной индукции через элементарную площадку dS называется физическая величина dФ_m, равная произведению величины этой площадки и проекции вектора В на направление нормали к площадке dS .

И нтегрируя это выражение по S, получим магнитный поток Ф_m сквозь произвольную замкнутую поверхность S:

.

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В, поток рассчитывают по формуле Ф = ВS, из которой можно определить единицу магнитного потока, которая обозначается - Вб. Силовые линии магнитного поля замкнуты. Поэтому, интеграл по любой замкнутой поверхности должен быть равен нулю, так как внутрь поверхности входит тот же поток, что и выходит из нее. Соответственно, по теореме Гаусса:

Магнитный поток сквозь тороид, имеющий воздушный зазор:

Ф=

Э.Д.С. индукции:

,

Магнитный поток Ф через поверхность, ограниченную контуром, по которому течет ток I:

Ф=LI, где L - индуктивность контура.

Э.Д.С. самоиндукции:

.

11.3. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кругового проволочного витка радиусом R=1см, по которому течет ток величиной 1 А.

Дано: R=0,01м, I= 1А.

Найти: Н.

П о закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного витком с током, в центре витка:

,

Ответ: .

11.4. На рис.6 изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ=10см, токи I₁=20 А и I₂=30 А. Найти Рис.6напряженности Н магнитного поля, вызванного токами I₁ и I₂ в точках М₁, М₂ и М₃. Рис.6Расстояния М₁А=2см, АМ₂=4см и ВМ₃= 3см.

Дано: АВ=0.1м, I₁=20А, I₂=30А, М₁А=0.02м, АМ₂=0.04м, ВМ₃=0.03м.

Найти: Н_М1, Н_М2, Н_М3.

Ток I₁ направлен на нас, ток I₂ - от нас. По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током:

Рис.6

г де а- кратчайшее расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с током.

Применяя правило буравчика или правой руки, определяем, что в точке М₁ напряженность поля первого тока направлена в плоскости рисунка (рис.7) вниз, а поля второго тока направлена вверх. Соответственно, исходя из принципа суперпозиции полей, напряженность поля, созданного данной конфигурацией токов, равна разности напряженностей полей, созданных каждым из проводников по отдельности:

По аналогии находятся напряженности магнитного поля в точках М₂ и М_3.

Ответ: Н_м1=120 .

11.6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости (рис.8). Найти напряженности Н₁ и Н₂ магнитного поля в точках М₁ и М₂ , если токи I₁=2 А и I₂=3 А. Рис.8 Расстояния АМ₁=АМ₂=1 см, и ВМ₁=СМ₂=2 см.

Дано: I₁=2 А, I₂=3 А, АМ₁=АМ₂=1 см, ВМ₁=СМ₂=2 см.

Найти: Н_М1, Н_М2.

По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного

прямолинейным проводником стоком:

,

где а- кратчайшее расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с током.

Применяя правило буравчика или правой руки, определяем, что в точке М₁ напряженность поля первого тока направлена перпендикулярно плоскости рисунка от нас, а поля второго тока направлена перпендикулярно плоскости рисунка на нас. Отсюда:

.

По аналогии находится напряженность магнитного поля в точке М_2.

Ответ: Н_м1=8

11.7. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис.9). Найти напряженности Н₁ и Н₂ магнитного поля в точках М₁ и М₂ , если токи I₁=2 А и I₂=3 А. Расстояния АМ₁=АМ₂=1 см, и АВ=2 см.

Дано: I₁=2А, I₂=3А, АМ₁=АМ₂=1 см, АВ=2 см.

Найти: Н_М1, Н_М2.

По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током:

,

где а- кратчайшее расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с током.

Ток I₁ направлен в плоскости рисунка вверх, ток I₂ перпендикулярно плоскости рисунка от нас.

Применяя правило буравчика или правой руки, определяем, что в точке М₁ напряженность поля первого тока направлена вверх из плоскости рисунка, а поля второго тока в плоскости рисунка вверх (рис.10), следовательно:

По аналогии находится напряженность поля в точке М₂.

Ответ: Н_М1= 35,6

11.13. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кругового тока на расстоянии а=3 см от его плоскости. Радиус контура R=4 см, ток в контуре I=2 А.

Дано: I=2А, а =3 см, R=4 см.

Найти: Н.

По закону Био-Савара-Лапласа для магнитного поля, созданного витком с током в точке на оси витка:

где а- расстояние от центра витка до точки, в которой ищется напряженность.

Ответ: Н=12,7 .

11.33. В однородном магнитном поле напряженностью Н=79.6кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой составляет с направлением магнитного поля угол β =45⁰. Сторона рамки а=4см. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий рамку.

Дано: Н=79.6кА/м =79,6 , β=45º, а=4 см=0,04м.

Найти: Ф.

По определению, магнитный поток сквозь поверхность рамки равен:

Ф=ВS cosα,

где В - индукция магнитного поля, S – площадь поверхности, ограниченной контуром, α – угол между нормалью к поверхности, ограниченной контуром и вектором индукции магнитного поля. По условию задачи α= π/2- β. Напряженность магнитного поля Н связана с индукцией магнитного поля соотношением: .

Следовательно: .

_{Ответ: Ф=113мкВб.}

11.34. В магнитном поле, индукция которого В=0.05 Тл вращается стержень длиной L=1 м. Ось вращения проходящая через один из концов стержня параллельна направлению магнитного поля. Найти магнитный поток Ф пересекаемый стержнем при его каждом обороте.

Дано:В=0.05 Тл, L=1 м.

Найти: Ф.

По определению, магнитный поток сквозь поверхность, прочерчиваемую стержнем при его движении:

Ф=В*S*cos α,

Рис. 11 где площадь пересекаемой за один оборот поверхности , а угол α равен углу между направлением вектора индукции магнитного поля и нормалью к поверхности, прочерчиваемой стержнем при его движении (Рис.11).

Из рис.11 видно, что угол α равен 0º, .cosα=1. Отсюда:

.

Ответ: Ф=0,157Вб.

11.37. Длина железного сердечника тороида L₁ =2,5 м, длина воздушного зазора L₂ = 1 см. Число витков в обмотке тороида N=1000. При токе I=20А индукция магнитного поля в воздушном зазоре В=1.6Тл. Найти магнитную проницаемость µ₁ железного сердечника при этих условиях. (зависимость В от Н для железа неизвестна).

Дано: В= 1,6 Тл, L₁ =2,5 м, L₂ = 1 см=0,02м, N=1000, I=20 А.

Найти: µ₁.

Магнитное поле тороида полностью заключено внутри его сердечника. Совокупность областей пространства, в которых локализовано магнитное поле, называют магнитной цепью. Таким образом, внутренние полости тороида, а также бесконечно длинного соленоида представляют собой простейшие магнитные цепи. Теоретически доказывается (см. лекции или учебник), что абсолютная величина магнитного потока во всех сечениях магнитной цепи тороида (бесконечно длинного соленоида) одинакова. Поэтому, проводя аналогию между магнитной и электрической цепью, можно установить, что магнитный поток играет в магнитной цепи такую же роль, какую в электрической цепи играет сила тока. Отсюда следует, что индукция магнитного поля тороида с составным сердечником во всех его сечениях одинакова.

Магнитный поток сквозь тороид:

,

где L₁- длина железного сердечника, L₂- длина воздушного зазора.

С учетом сказанного ранее следует:

, ,

где µ₂ =1–магнитная проницаемость воздуха. Отсюда:

Ответ: µ₁ = 440.

11.52. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d₁ =10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I₁ =20 А, и I₂=30 А. Какую работу A/L надо совершить (на единицу длины проводника), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d₂ =20 см?

Дано: d₁ =10 см=0,1м, d₂ =20 см=0,2м, I₁ =20 А, I₂=30 А. Найти: A/L.

По определению:

, где ,

где модуль перемещения равен приращению расстояния между проводниками d.

Направление действующей силы совпадает с направлением перемещения, поэтому в скалярном произведении ( ) угол между векторами α=0, а cosα=1. Следовательно:

Ответ: А/L =84мкДж/м.

11.64. Поток α – частиц (ядер атома гелия), ускоренных разностью потенциалов U=1МВ, влетает в однородное магнитное поле напряженностью H=1,2 кА/м. Скорость каждой частицы направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти силу F, действующую на каждую частицу.

Дано: U=1МВ=10⁶В, H=1,2кА/м=1,2*10³А/м, , , α=90º. Найти: F.

По определению, на заряженные частицы со стороны магнитного поля действует сила Лоренца:

Чтобы найти скорость частиц, необходимо учесть, что они ускорены известной разностью потенциалов, причем работа по ускорению частиц пошла на увеличение их кинетической энергии:

, так что .