Материал: Лекция№2 Задэлектр

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «КНИТУ»)

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Т.Ю. Миракова., В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Учебное пособие

КАЗАНЬ 2018

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «КНИТУ»)

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Т.Ю. Миракова, В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Учебное пособие

КАЗАНЬ 2018

Составители: доц. Т.Ю.Миракова

проф. В.С. Минкин

проф. Е.С. Нефедьев

Электричество и электромагнетизм. Основные законы и примеры решения задач. Учебное пособие / Т.Ю. Миракова, В.С. Минкин, Е.С. Нефедьев; М-во науки и высшего образ. РФ. Казан. нац. исслед. гехнол. ун-т. – Казань: КНИТУ, 2018. – с.

Данное учебное пособие включает в себя теоретический материал, а также подробное изложение решения задач по физике, раздел «электричество и электромагнетизм».

Предназначено для студентов, обучающихся по программе бакалавриата всех специальностей и всех форм обучения, изучающих дисциплину «Физика».

Учебное пособие подготовлено на кафедре физики КНИТУ.

Печатается по решению методической комиссии по циклу физико-математических дисциплин.

Введение

Что делать, если «просто решать» задачи не получается? Самый эффективный способ научить решать задачи – это просто показать, как они решаются, а самый эффективный способ научиться решать задачи – это просто их решать. Со временем «количество» перейдет в «качество» и возникнет желание искать решение все более сложных задач как по физике, так и связанных с профессиональной деятельностью.

При изложении решений многих задач мы ставили целью пройти весь путь вместе с читателем. В пособии рассматриваются задачи из «Сборника задач по общему курсу физики. Изд.3-е.-СПб.:Книжный мир, 2007.-328с.

Электричество и электромагнетизм

1. Электростатика

1.1Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля. Потенциал электрического поля Потенциальная энергия взаимодействия зарядов. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.

В электростатике рассматриваются взаимодействия и свойства электрических зарядов, неподвижных в той системе системе координат, в которой эти заряды изучаются. Как известно, существуют два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Согласно закону сохранения заряда для электрически замкнутой системы, электрические заряды не возникают и не исчезают, они могут быть лишь переданы от одного тела другому. Из закона сохранения заряда следует, что в любом нейтральном веществе имеются заряды обоих знаков в равных количествах.

Экспериментально установлено, что электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов, равных 1,6*10^-19 Кл. Наименьшая частица, обладающая элементарным отрицательным зарядом, называется электроном.

Закон Кулона.

Основной закон взаимодействия зарядов был экспериментально установлен в 1785 году Ш. Кулоном.

,

где q₁ и q₂ –величина первого и второго зарядов, ε –диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ –электрическая постоянная, r- расстояние между зарядами.

Таким образом, сила электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. При прочих равных условиях, сила взаимодействия зависит от свойств среды, в которой заряды находятся. Диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в вакууме больше, чем в данной среде.

Напряженность электрического поля образованного точечным зарядом q:

,

где r- расстояние от заряда до точки, где определяется напряженность электрического поля.

Напряженность электрического поля образованного бесконечной однородно заряженной нитью с линейной плотностью заряда τ:

где r- кратчайшее расстояние от нити до точки, где определяется напряженность электрического поля.

Напряженность электрического поля образованного бесконечной однородно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ:

Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме:

;

где ρ - объемная плотность заряда.

Потенциал электрического поля образованного точечным зарядом q:

Работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

А=q (φ₁ –φ₂ ),

где φ₁ и φ₂ – потенциал электрического поля в точках 1 и 2.

Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом: = -grad φ

Потенциальная энергия системы электрических зарядов:

W= ,

где φ_i – потенциал поля, созданного в точке, где находится i-ый заряд, всеми другими зарядами.

Для однородного поля

(φ₁ –φ₂ )=U=E*d, где d- расстояние между точками, где определяется разность потенциалов.

№9.16

Во сколько раз сила гравитационного притяжения между двумя протонами меньше силы их электростатического отталкивания? Заряд протона равен по модулю и противоположен по знаку заряду электрона.

Дано: m_p=1,67*10^-27 кг, q_p= 1,6*10^-19Кл.

Найти: F_Кул / F_гр?

По закону всемирного тяготения сила гравитационного взаимодействия определяется по формуле:

F_гр= G ,

где гравитационная постоянная G=6,67*10^-11 Н*м² /кг²

По закону Кулона:

,

Отсюда,

Ответ:

№9.20

Рис.1

В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд q=1,5нКл, сторона шестиугольника а=3см.

Дано: q=1,5

Найти Е.

Пусть положительные заряды занимают положения 1, 2, 3, а отрицательные – 4, 5, 6 согласно рис.1.

Векторы напряженности положительных зарядов направлены от зарядов, а векторы напряженности отрицательных зарядов направлены к зарядам. По модулю напряженности полей отдельных зарядов равны и определяются по формуле:

, причем для воздуха ε=1.

По принципу суперпозиции полей:

Из рис. 1 видно, что угол между векторами и векторами равен 60⁰ . Соответственно, проекция суммы векторов на направление векторов равна Аналогичное выражение получается и для проекции суммы векторов ( ) на направление векторов . Отсюда следует, что напряженность электрического поля всех зарядов направлена вдоль векторов и равна по модулю: Е= .

E= .

Ответ: Е=60

9.29. На рис.2 бесконечная заряженная плоскость обозначена буквами АА, а одноименно заряженный шарик обозначен буквой В. Масса шарика 1г, заряд равен 1нКл, поверхностная плотность заряда плоскости σ=40мкКл/м² . Какой угол α с плоскостью АА образует нить, на которой висит шарик?

Дано: m=10^-3кг, q=10^-9Кл, σ=40*10^-6Кл/м².

Найти угол отклонения нити α.

На шарик В действуют три силы: сила натяжения нити , сила тяжести и со стороны электрического поля плоскости АА сила (рис.2). Шарик находится в состоянии покоя, следовательно, по первому закону Ньютона:

. (1)

Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости определяется по формуле: , причем для воздуха ε=1. Тогда сила, действующая со стороны электрического поля плоскости АА на шарик В равна: .

Направим ось x вправо по горизонтали, а ось y вверх по вертикали. Тогда, в проекциях на оси x и y уравнение (1) перепишется в виде:

Ox: F – Tsinα = 0 (2)

Oy: - mg +Tcosα =0 (3)

Поделим уравнение (2) на уравнение (3):

,

tgα= , tg

Ответ: α =arctg(0,226) ≈13 ⁰.

9.51.

Определить напряженность поля внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса R. Oбъемная плотность заряда внутри цилиндра равна ρ. Дано: R, ρ. Найти Е( r).

Рис.3

Из условия задачи следует, что электрическое поле, созданное заряженным равномерно цилиндром, обладает осевой симметрией. Силовые линии поля, то есть линии напряженности, перпендикулярны оси цилиндра и радиально расходятся от оси (рис.3).

По теореме Гаусса для электрического поля в вакууме:

(4)

Мысленно вырежем в пространстве цилиндр высотой L и радиусом оснований r. Высота цилиндра должна быть значительно меньше длины заряженного цилиндра, создающего поле (рис.3), а ось совпадать с его осью. Интеграл по замкнутой поверхности цилиндра в формуле (1) можно разбить на три: поток вектора сквозь верхнее основание цилиндра, поток вектора сквозь нижнее основание цилиндра и поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра.

+ + . (5)

Интегралы по верхнему и нижнему основаниям цилиндра равны нулю, так как вектор перпендикулярен нормали, проведенной к верхнему и нижнему основаниям цилиндра и скалярное произведение EdScos90⁰ в этих случаях обращается в ноль. Остается интеграл по боковой поверхности цилиндра. Все точки боковой поверхности цилиндра равноправны, тогда Е для данного значения r можно считать постоянной величиной. Тогда:

E_rdScos0=E_r2πrL, (6)

где r и L – радиус и высота вспомогательного цилиндра.

Рассмотрим случай, когда r<R. Заряд, сосредоточенный внутри цилиндра, будет равен объемной плотности заряда ρ, умноженной на объем цилиндра:

q=ρπr²L. (7)

С учетом формул (6) и (7) по теореме Гаусса получаем:

E_r2πrL= ρπr²L/ε₀,

E_r =

В случае, когда , q= ρπR²L и по теореме Гаусса:

E_r2πrL= ρπR²L/ε₀,