Материал: Лекция№2 Задэлектр

E_r = .

На рис.4 представлен график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра.

Рис.4 Ответ: r<R, E_r =

, E_r =

9.54. Шарик массой m=40мг, имеющий положительный заряд q=1нКл, движется со скоростью v=10см/с. На какое расстояние r может приблизиться шарик к положительному закрепленному точечному заряду q₀=1,33нКл?

Дано: m=4*10^-5 кг, q=10^-9 Кл, v=0,1м/c, q₀=1,33*10^-9Кл .

Найти r.

Положительно заряженный закрепленный шарик создает вокруг себя электрическое поле с потенциалом:

По закону сохранения энергии кинетическая энергия движущегося шарика при приближении к другому шарику переходит в потенциальную энергию:

Следовательно,

r= =0,0598м≈6см

Ответ: 6 см

9.61. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии r₁=1см от нити, до точки r₂=4см, α-частица изменила свою скорость от v₁=2*10⁵м/с, до v₂=3*10⁶м/с. Найти линейную плотность заряда τ на нити.

Дано: r₁=1см=0,01м, r₂=2cм=0,02м, m=6,64*10^-27кг, q=3,2*10^-16Кл, v₁=2*10⁵м/с, v₂=3*10⁶м/с.

Найти: τ.

α-частица представляет собой ядро атома гелия, заряд которой равен двум зарядам протона, а масса равна сумме масс двух протонов и двух нейтронов. Работа поля определяется по формуле:

Напряженность поля, созданного бесконечной заряженной нитью, определяется по формуле:

Тогда А=

По закону сохранения энергии работа поля пошла на увеличение потенциальной энергии α-частицы.

Отсюда, линейная плотность заряда на нити равна:

τ=

τ=3,7

Ответ; τ=3,7

9.74. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха пылинка падает с постоянной скоростью v₁=2cм/с. Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U=3кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние L пылинка пролетит по вертикали до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d=2см, масса пылинки m=2*10^-9г, ее заряд равен q=6,5*10^-17Кл.

Дано: v₁=2см/с=0,02м/с, U=3кВ=3*10³В, d=2см=0,02м, m=2*10^-12кг, q=6,5*10^-17Кл.

Найти t, L.

После подачи на пластины разности потенциалов на пылинку действуют сила тяжести, сила сопротивления среды и сила со стороны электрического поля. По второму закону Ньютона:

(8)

Пусть ось х направлена по горизонтали вправо, а ось у по вертикали вверх. Перепишем уравнение (8) в проекциях на оси х и у.

х: ma=F_эл (9)

у: F_c - mg=0 (10)

F_эл=qE, где Е –напряженность электрического поля внутри конденсатора. Электрическое поле конденсатора является однородным, а для однородного поля

Следовательно, a= a= . (12)

По условию задачи начальная скорость пылинки направлена вниз и не имеет горизонтальной составляющей. Тогда кинематическое уравнение движения по оси х запишется так:

X , где х=d/2. (13)

С учетом формул (12) и (13):

, t=d

t= с.

y=l=v₁t, l= .

Ответ: t= 3,2 ; y=6,4 м

9.6. Напряженность электрического поля как функция координат имеет вид . Определить плотность зарядов создающих такое поле.

Дано:

Найти: (x,y,z).

По теореме Остроградского-Гаусса:

По определению:

,

тогда по теореме Гаусса для электрического поля в вакууме:

;

ρ = .

Ответ: .

9.8

Решение:

по определению

.

Отсюда:

, , , .

По аналогии:

Если положить при x=0, y=o, z=0 const=0,то

φ(x,y,z) = -(ax +by +cz).

1.2 Электроемкость. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов.

Электрическая емкость уединенного проводника

Уединенным называется проводник, вблизи которого нет других заряжен­ных тел, диэлектриков, которые могли бы повлиять на распределение зарядов дан­ного проводника.

Отношение величины заряда к потенциалу для конкретного проводника есть величина постоянная, называемая электроемкостью (емкостью) С:

. (14)

Таким образом, электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы изменить его потен­циал на единицу. Опыт показал, что электроемкость уединенного проводника зависит от его гео­метрических размеров, формы, диэлектрических свойств окружающей среды и не за­висит от величины заряда проводника.

Рассмотрим уединенный шар радиуса R, находящийся в однородной среде с диэлектрической проницаемостью . Ранее было получено, что потенциал шара ра­вен . Тогда емкость шара

, (15)

т.е. зависит только от его ра­диуса.

За единицу емкости принимается 1фарад (Ф). 1Ф - емкость такого уединенно­го проводника, потенциал которого изменится на 1В при сообщении заряда 1Кл.

Уединенные проводники даже очень больших размеров обладают малыми ем­костями. Емкостью в 1Ф обладал бы уединенный шар радиуса, в 1500 раз большего радиуса Земли. Электроемкость Земли составляет 0.7 мФ.

Взаимная электроемкость. Конденсаторы

Пусть вблизи заряженного проводника А нахо­дятся незаряженный проводни­к или диэлектрик. Под действием поля проводника А в другом теле возни­кнет индуцированный или свя­занные (если диэлектрик) заряды, причем ближе к А будут располагаться заряды противоположного знака. Индуцированные (или связанные) заряды соз­дают свое поле противоположного на­правления, чем ослабляют поле проводника А, уменьшая его потенциал и увеличи­вая его электроемкость.

На практике существует потребность в устройствах, которые при относитель­но небольшом потенциале накапливали (конденсировали) бы на себе заметные по вели­чине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, поло­жен факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Простейший плоский конденсатор состоит из двух близко расположенных про­водников, заряженных равными по величине и противоположными по знаку заряда­ми. Образующие данную систему проводники называются обкладка­ми.

Для того, чтобы поле, создаваемое заряженны­ми обкладками, было полностью сосредоточено внутри конденсатора, обкладки должны быть в виде двух близко рас­положенных пластин, или коаксиаль­ных цилиндров, или концентрических сфер. Со­ответ­ственно конденсаторы называются плоскими, цилиндрическими или сфериче­скими.

Разность потенциалов между обкладками пропорциональна абсолютной вели­чине заряда обкладки. Поэтому отношение есть величина постоянная для конкретного кон­денсатора. Она обозначается С и называется взаимной электроемкостью провод­ников или емкостью конденсатора. Емкость конденсатора численно равна заряду, который нужно перенести с одной обкладки конденсатора на другую, чтобы изме­нить разность их потенциалов на единицу.

Разность потенциалов плоского конденсатора равна , где поверхностная плотность заряда обкладки. S - площадь обкладки конденса­тора.. Отсюда емкость плоского конденсатора:

. (16)

Из этой формулы следует, что С плоского конденсатора зави­сит от его геометрических размеров и диэлектри­ческой проницаемости диэлектрика, заполняющего межплоско­стное пространство.

Для получения устройств различной электроемкости конденсаторы соединяют парал­лельно и после­довательно.

Параллельное соединение конденсаторов. Соединенные провода-проводники имеют один и тот же потенциал, поэтому

Энергия заряженного уединенного проводника, конденсатора. Энергия электростатического поля

Энергия заряженного проводника численно равна работе, которую должны со­вершить внешние силы для его зарядки W=A. При перенесении заряда dq из бесконечности на проводник совершается ра­бота dA против сил электростатического поля (по преодолению кулоновских сил отталки­вания между одноименными зарядами) : dA=jdq=Cjdj.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала j, потребуется ра­бота . Энергия заряженного проводника равна той работе, которую надо совершить, чтобы зарядить его: .

Выражение принято называть собственной энергией заряженного про­водника. Увеличение потенциала  проводника при его зарядке сопровождается усиле­нием электростатического поля, возрастает напряженность поля . Естественно предположить, что собственная энергия заряженного проводника есть энергия его электростатического поля. Проверим это предположение на примере однородного поля плоского конденсатора. Повторяя ход вышеприведенного расчета, нетрудно получить энергию заряженного плоского конденсатора ,

где  - разность потенциалов его обкладок. Подставим в эту формулу выражения для емкости плоского конденсатора и разности потенциалов между обкладками . Тогда для энергии получим , где V=Sd - объем электростатического поля между обкладками конденсатора.

Отсюда следует, что собственная энергия заряженного плоского конденсатора пропорциональна V объему его поля и на­пря­женности . Следовательно, необходимо считать, что электростатическое поле обладает энергией. Объемная плотность энергии электрического поля или энергия единицы объема равна , .

9.96 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S=0,01м², расстояние между ними d=5мм. К пластинам приложена разность потенциалов U₁=300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом. Какова будет разность потенциалов U₂ между пластинами после заполнения? Найти емкость конденсатора С₁ и С₂ и поверхностные плотности заряда σ₁ и σ₂ на пластинах до и после заполнения.

Дано: S=0,01м², d=5мм=0,005м, U₁=300B, ε=2,6.

Найти: U_2, С₁, С₂, σ_1, σ_2,.

При введении эбонита после отключения конденсатора от источника напряжения заряд на обкладках не меняется, то есть q₁ = q₂ = q. Из определения взаимной электроемкости проводников следует: