Исчисление предикатов является расширением исчисления высказываний путём добавления в алфавит предметных переменных, предикатных и функциональных символов, а также кванторов и (или) , что приводит к соответствующему расширению понятия формулы. Аксиоматика исчисления предикатов получается добавлением к аксиомам и правилам вывода исчисления высказываний аксиом и правил вывода для кванторов.
К сожалению, для многих математических теорий такой способ доказательства непротиворечивости не проходит, поскольку для них не существует более простой модели, чем основная (которая обычно называется стандартной). Такими теориями являются, например, арифметика и теория множеств. О доказательствах непротиворечивости арифметики говорилось в п. 4.6. Что касается теории множеств, то в настоящее время существует несколько версий её аксиоматизации, каждая из которых обладает своими достоинствами и недостатками, так что говорить о её окончательном построении ещё рано. Наиболее вероятно, что различные варианты будут существовать и развиваться параллельно, подобно тому, как существуют различные геометрии. На это указывает, например, несовместимость аксиом выбора и детерминированности, каждая из которых даёт важные положительные результаты, так что нет оснований для предпочтения какой-либо одной.
Заключение
Разногласия во взглядах на истинность математических теорем в конечном счёте сводятся к разному пониманию отношения математики к реальному миру. Абсолютизация человеческих представлений о реальном мире, характерная для людей не только древности, но и совсем недалёких времён, привела к ряду заблуждений в оценке места математики среди других наук. Поверхностное восприятие того факта, что зарождение и в значительной мере дальнейшее развитие математики происходило путём решения прикладных задач, послужило распространению прагматической точки зрения на математику, хотя при более глубоком анализе обнаруживается принципиальная независимость математики от реального мира, точнее - от наших представлений о нём. В наше время это тем более очевидно, что благодаря более глубокому пониманию роли и возможностей науки, понятие «реальный мир» потеряло свою однозначность и фактически обозначает целый спектр виртуальных миров. В то же время в математике с помощью формализации основных конструкций происходит постоянное уточнение важнейших интуитивных понятий, что с одной стороны способствует избавлению от некоторых иллюзий, а с другой - создаёт уверенность в объективности математических результатов - объективности в мире идей. В этом отношении представляет интерес следующее мнение философов из [Б,П]: «Незаметное смешение общих философских понятий иногда ведёт к осязательным ошибкам в философии математики. Так, часто из того факта, что математика применяется на практике, делается вывод, что математическая теория в своей истинности проверяется или обосновывается практикой. Такой вывод может получиться только при смешении таких понятий, как опыт и практика, истинность и содержательность. Мы можем утверждать, что математическая теория стимулируется практикой в своём развитии, что она отражает реальность, содержательна (в смысле возможного соответствия некоторой системе реальных связей), но отсюда не следует, что она проверяется на опыте, подобно эмпирическим теориям, что ей присуща истинность [в прагматическом смысле - авт.] или что она обосновывается посредством использования. Такие смешения ведут к искажению сути математического знания со всеми проистекающими отсюда методологическими заблуждениями».
“Кризис” в математике, вызванный использованием чрезмерно расширенного понятия множества, привёл в конечном счёте к самому значительному прогрессу в математике, в результате которого математика освободилась от несвойственных ей ограничений, налагаемых на неё попытками связать её с реальными моделями. Благодаря созданию формализованной математической логики и, соответственно, математических понятий доказательства и непротиворечивости, метаматематическое понятие истинности окончательно приобрело однозначный внутриматематический характер: теорема истинна, если она формально-логически следует из аксиом непротиворечивой теории. Такое понятие истинности абсолютно в том смысле, что оно не зависит от каких-либо неоднозначных внешних условий. Какими бы средствами ни были решены вопросы о доказательстве выводимости и непротиворечивости, указанное понятие истинности сохраняется. Поскольку развитие математики представляет собой монотонный процесс в сторону расширения накопленных знаний, когда ничто из достигнутого не отбрасывается (мы видим, к чему привели попытки интуиционистов нарушить эту монотонность), то возможные изменения (расширения) математического языка и, соответственно, логики могут изменить содержание, но не характер (сущность) понятия истинности в математике. При этом вопрос о доказательстве непротиворечивости теорий стал более острым и сложным. Если раньше для обоснования непротиворечивости было достаточно указать подходящую реальную модель, то теперь этот критерий стал несостоятельным. Благодаря тому, что вопрос приобрёл чёткий математический смысл, его решение также должно быть только математическим. «Отрицательные» теоремы Гёделя, казалось бы сделали эту задачу для важнейших математических теорий безнадёжной - в рамках принятого языка и логики, однако для такой основополагающей теории как арифметика были найдены математические доказательства, использующие более широкие средства доказательства, чем традиционные. Эти средства вполне естественны для математики и в наше время уже не вызывают возражений. Таким образом, значительная часть математики получила прочное математическое обоснование (учитывая тот факт, что для многих математических теорий существуют арифметические модели). В этом свете снизился интерес к доказательству непротиворечивости других формальных теорий, поскольку в них столь же трудно ожидать противоречий, как и в арифметике. Особое место занимает теория множеств, которая по-видимому должна разделиться на несколько параллельных ветвей, но чтобы судить об этом, требуются дополнительные исследования. В наше время содержательная теория множеств развилась в обширную и глубокую ветвь математики, тесно связанную со многими другими областями математики, и в непротиворечивости которой трудно сомневаться. Похоже, что все парадоксы связаны только с понятием множества всех множеств, а также с самоприменимыми предикатами, с помощью которых обычно формулируются «реальные» парадоксы. Что касается понятия множества всех множеств, то его с самого начала трудно признать законным математическим объектом, хотя бы потому, что оно не удовлетворяет такому естественному свойству всякого множества, как возможность его расширения. Во всяком случае без этого понятия (и равносильных ему) в содержательной теории множеств (как и в формальных) противоречия не обнаруживаются. Здесь, пожалуй, уместно сослаться на одну цитату из [Бур]: «С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т.е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) математическая часть рассуждения … настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть её сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет [теперь уже более 80-ти - авт.] с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, ещё ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда».
Очень важно отметить, что хотя формализация математической логики и понятия доказательства сыграла кардинальную роль в развитии математики, получение новых математических результатов происходит, и по-видимому, будет происходить в дальнейшем в основном интуитивным образом (точнее во взаимодействии интуитивных и формальных средств). Поэтому вопрос о природе и значении интуиции отнюдь не упраздняется с формализацией математики. Как отмечалось в п.3, математическая интуиция не потеряла своего значения как средства доказательства, что выразилось в тезисе Гильберта, который утверждает эквивалентность интуитивных и формальных доказательств. В наше время истинность этого тезиса не вызывает сомнений хотя бы потому, что он превратился в фактическое условие правильности доказательства. В эвристическом же отношении интуиция по-прежнему остаётся основным средством получения доказательств. К сожалению, до сих пор изучением этого явления занимались только философы, хотя вопрос о природе интуиции безусловно заслуживает научного изучения.
Резюме
1. Математика является замкнутой в себе наукой, не нуждающейся в каких-либо внешних критериях истинности её теорем. В то же время она с большим успехом используется для решения естественнонаучных задач. Это обстоятельство послужило поводом считать математику естественной наукой, предназначенной для изучения реального мира, и таким образом критерий истинности её теорем был выведен за пределы математики и поставлен в зависимость от «реальных фактов». В наше время, когда не только математические, но и многие метаматематические понятия приобрели точный формальный смысл, несостоятельность такой точки зрения стала вполне очевидной, во-первых, потому, что не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным аналогам, и во-вторых, естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий.
2. В математике истинность теоремы отождествляется с выводимостью (доказуемостью) её из непротиворечивой системы посылок (аксиом). Вывод или доказательство представляет собой дедуктивную цепочку, каждый шаг которой обосновывается каким-либо логическим правилом, принадлежащим формальной математической логике. Фактически подавляющее большинство доказательств содержат шаги дедукции, основанные на интуитивной очевидности. Поэтому требуется, чтобы интуитивно очевидные шаги имели логический эквивалент. Как правило интуитивные доказательства этому требованию удовлетворяют, что позволило принять соответствующий тезис, названный тезисом Гильберта, об эквивалентности интуитивных и логических доказательств.
3. Вопрос о непротиворечивости математических теорий до 19-го века практически не возникал, поскольку считалось, что математические понятия отражают свойства реального мира, которые не могут быть противоречивыми. К тому же, кроме ссылки на какую-либо реальную модель, не существовало других средств доказательства непротиворечивости. К концу 19-го века этот вопрос назрел, а в 20-м веке, благодаря формализации математических теорий, получил возможность решения математическими средствами. При этом было осознано, что ссылка на реальную модель не является доказательством непротиворечивости, поскольку не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным объектам.
Следует заметить, что вопрос о непротиворечивости математики в целом не имеет смысла, поскольку в достаточно развитой математике, каковой является современная математика, обязательно должны существовать непротиворечивые теории, объединение которых противоречиво. Поэтому речь может идти только о непротиворечивости отдельных теорий, например, формальной арифметики или формальной теории множеств и т.п. Подчеркнём, что речь идёт в основном о формальных теориях, поскольку содержательно («наивно») построенные теории не столь уязвимы со стороны противоречивости, как формальные, ибо содержательная теория не предстаёт перед нами в целом, а только - в виде построенного к данному времени фрагмента, непротиворечивость которого, как правило, обеспечивается в процессе его построения. Поэтому вопрос о непротиворечивости наиболее актуален для формальных теорий и в основном в связи с общей проблемой оснований математики. В этом направлении в 20-м веке получено много кардинальных результатов, существенно расширивших и углубивших наши представления о математике. Разумеется, многие важные проблемы, как в области математической логики, так и в области основополагающих математических теорий (например, теории множеств) остаются нерешенными, но это явление естественно для всякой науки.
В заключение следует отметить, что математика не вписывается в принятое деление наук на естественные и гуманитарные, и ей более подходит особый статус универсальной науки.
Литература
1. (Асм) В.Ф.Асмус. Проблема интуиции в философии и математике. «Мысль», М.1965.
2. (Бар) Дж. Барвайс. Введение в логику первого порядка. Справочная книга по математической логике. Ч.1. «Наука», М.1982. Пер. с англ..: Handbook of mathematical logic. J. Barwise (Ed). North-Holland P.C. 1977.
3. (Б,Д) Дж.Булос, Р.Джеффри. Вычислимость и логика. М. «Мир» 1994. Пер. с английского: George S. Boolos, Richard C. Jeffrey. Computability and logic. Cambridge University press, 1989.
4. (Б,П) Е.А.Беляев, В.Я.Перминов. Философские и методологические проблемы математики. Изд-во Московского университета, 1981.
5. (Бун) М.Бунге. Интуиция и наука. «Прогресс», М. 1967. Пер. с английского: M.Bunge. Intuition and Science. New York, 1962.
6. (Бур) Н.Бурбаки. Начала математики. Ч.1, кн.1. Теория множеств. Мир. М. 1965. Пер. с французского.: Elements de Mathematique par N.Bourbaki. Livre 1. Theorie des ensembles. Troisieme edition, 1958.
7. (Виг) Е.Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. УФН, т.94, вып.3, 1968, 535 - 546. Пер. с англ.: E.Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960).
8. (Дек) Р.Декарт. Правила для руководства ума. Избранные произведения. М.1950. Пер. с французского: Descartes R. Oeuvres, t. X. Paris, 1908.
9. (Кла) М.Клайн. Математика. Утрата определённости. М.”Мир”, 1984. Пер. с англ.: Morris Kline. MATHEMATICS. The Loss of Certainty. N-Y, Oxford University Press, 1980.
10. (Кли) С.К.Клини. Введение в метаматематику. ИЛ М. 1957. Пер.с англ. : Introduction tu metamathematics by Stephen Cole Kleene. 1952. D.van Nostrand Company, inc. New York , Toronto.
11. (К.У) М.Кац, С.Улам. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы. «Мир», М. 1971. Пер. с англ.: Mathematics and Logic. Retrospect and Prospects. Mark Kac and Stanislaw M. Ulam. N.-Y. Washington. London. 1968.
12. (Мал) Мальцев А.И. Алгебраические системы. «Наука», М. 1970.
13. (Мев) Менделеев И. Метод математики. С-П., 1913.
14. (МЭ) Математическая энциклопедия. Изд. «Советская энциклопедия», т.1, М. 1977.