Главное значение этих теорем Гёделя состоит в том, что они показывают несостоятельность надежды на полную формализацию математики в языке первой ступени, в частности, как на средство доказательства её непротиворечивости. Это не означает, конечно, что формализация математических теорий вообще бесполезна. Поскольку по своей природе математика является дедуктивной наукой, представление её теорий в виде формальных исчислений является наиболее совершенной их формой, которая к тому же даёт возможность уточнить многие содержательные понятия не только в самой теории, но и в определённой части метатеории. Кроме того, расширение формального языка может существенно изменить описанную ситуацию, однако этот вопрос в достаточной мере ещё не изучен.
Поскольку непротиворечивость фактически определяет право на существование теории, совершенно необходимо было найти выход из создавшейся неопределенности. Вполне естественными являются две возможности: во-первых, использование логики второй ступени, и во вторых, расширение математических правил вывода. Обе эти возможности были реализованы и привели к желаемым результатам. Так непротиворечивость формальной арифметики была доказана с помощью таких естественных правил, как трансфинитная индукция, либо конструктивное правило Карнапа. Более того, формальная арифметика становится семантически полной при добавлении таких правил.
Правило Карнапа (щ-правило, правило бесконечной индукции) имеет следующий вид: если для формулы А(х) доказаны предложения А(0), А(1),…,А(п),…, то доказано предложение хА(х).Это правило без ущерба для основного результата можно заменить так называемым конструктивным правилом Карнапа: если имеется алгоритм, который по любому натуральному числу п дает доказательство формулы А(п), то доказано хА(х). Здесь посылка задаётся уже конечным объектом - алгоритмом. Добавление к арифметике конструктивного правила Карнапа дает такой же эффект, что и добавление неконструктивного правила.
В свое время некоторые математики возражали против этих доказательств, считая такие правила слишком неконструктивными, однако теперь уже никто не подвергает сомнению непротиворечивость формальной арифметики. По-видимому, настало время считать указанные правила вполне законными, поскольку, как показывает многолетний опыт, противоречиями они не угрожают. Фактически основанием запрета является не опасение противоречий, а прагматическая идеология, предъявляющая к математике такие же требования, как и к естественным наукам. В этом отношении история развития математики даёт нам целый ряд поучительных примеров, когда неоправданное требование аналогии математических понятий объектам реального мира накладывало априорный запрет на некоторые понятия, которые впоследствии прочно вошли в математику. Сначала математический мир не хотел признавать существования отрицательных чисел. Столкновение с иррациональными числами привело к отлучению на долгое время геометрии от арифметики. Мнимые и комплексные числа также как и отрицательные долгое время считались несуществующими и потому незаконными. Нам трудно объяснить подобную наивность, но похоже, что недоверие к правилу Карнапа носит такой же характер. Если с самого начала достаточно ясно, что новшество непосредственно не угрожает противоречием, а к тому же расширяет возможности соответствующей теории, то естественно считать его вполне допустимым. Иллюстрацией может служить аксиома выбора, которая хотя и вызвала много возражений, однако ныне широко применяется в различных математических теориях, поскольку без неё невозможно получить многие важные результаты.
Следует заметить, что теоремы Гёделя не имеют места в арифметике второй ступени. Более того, в языке второй ступени существует конечная полная аксиоматизация арифметики натуральных чисел [Б,Д]. Однако есть серьёзные причины избегать неограниченного применения логики второй ступени, к числу которых относится, например, невозможность полной рекурсивной аксиоматизации этой логики.
5. О математике вообще
Можно привести ряд признаков, отличающих математику от естественных наук. Одним из них является тот факт, что (по крайней мере, в большей части современной математики) математические объекты не претендуют на роль адекватных аналогов реальных объектов. Более того, наличие у формальной теории реальной (т.е. материальной) модели не может служить доказательством её непротиворечивости, поскольку идеальные математические объекты и отношения могут быть адекватно соотнесены только с идеальными же понятиями. Поэтому математика фактически является замкнутой в себе системой, а следовательно, и все её понятия и утверждения не должны зависеть от каких-либо внешних моделей. В этом свете возражения неономиналистов против использования в математике некоторых теоретико-множественных понятий на том основании, что они не имеют реальных аналогий, являются совершенно несостоятельными.
В то же время с помощью математических теорий решаются многие задачи реального мира и предсказывается развитие некоторых процессов в нем. Этот факт свидетельствует об определённой объективности абстрактных математических конструкций, но отнюдь не о какой-то зависимости математики от вещественных понятий. Это свидетельствует также и об объективности классической логики, которая лежит в основе всех математических теорий (кроме интуиционистских, логика которых является фрагментом классической). В подтверждение этой точки зрения, которая оспаривается некоторыми математиками (см., например, [Кла]), приведем высказывания известных математиков и физика.
М.Кац и С.Улам [К,У]: «Математика - это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощной способностью отражать и моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и ещё в большей мере продолжает приносить её сейчас».
Е.Вигнер [Виг]: «С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий».
Он же [Виг]: «Тем не менее важно подчеркнуть, что математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений. Это обстоятельство показывает, что математический язык следует рассматривать как нечто большее, чем просто язык, на котором мы должны говорить; оно показывает, что математика на самом деле является правильным (подходящим) языком».
Он же [Виг]: «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас и в будущих исследованиях и что он будет - хорошо это или плохо - развиваться к нашему большому удовлетворению, а может быть, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира».
Думаем, что большинство математиков в основном согласно с приведёнными высказываниями, хотя поставленный в них вопрос о непонятной эффективности математики в описании реальных явлений оставлен без ответа. Однако от ответа на этот вопрос зависит правильное понимание роли математики в познании реального мира - является ли математика лишь удобным языком, или её связь с реальным миром более глубокая. Одна из гипотез, имеющая древнее происхождение, состоит в том, что мир устроен по математическим (и следовательно, идеальным) законам и потому математические теории адекватно описывают строение реального мира. Непосредственно в таком виде эта гипотеза, хотя и достаточно правдоподобна, но мало содержательна, поскольку не объясняет существа самого явления. Другая гипотеза предполагает, что существует единая логика, присущая как человеческому мышлению, так и устройству реального мира. Эта гипотеза имеет косвенное подтверждение, основанное на предположении единственности логики, что выглядит весьма правдоподобно в силу самого понятия логики, как истинности во всех мирах. Тот факт, что логика (по крайней мере, основной её фрагмент) в наше время получила полное формальное описание, позволяет нам судить о логических, т.е. самых общих закономерностях реального мира, и потому в той мере, в какой эмпирические данные, играющие роль аксиом, соответствуют реальности, математические теории будут правильным описанием реальных закономерностей. Поэтому математика - это не просто удобный язык для описания реального мира, но и надежное эвристическое средство, позволяющее предсказывать неизвестные ранее явления, которые логически следуют из эмпирических аксиом.
Отметим некоторые особенности современной математики. В настоящее время математические теории разделяются на формализованные (т.е. являющиеся формальными системами) и неформализованные, которые мы будем называть содержательными или интуитивными. Последние строятся традиционно интуитивно, исходя из семантических свойств основных объектов. Построение математической теории в виде формального исчисления, во-первых, дает точное описание всех её постулатов - аксиом и, во-вторых, наличие формального доказательства какого-либо предложения делает абсолютным факт его следования из аксиом теории, поскольку правильность формального доказательства алгоритмически проверяема. Кроме того, для формальной теории имеется больше возможностей доказательства её метатеоретических свойств, в частности, непротиворечивости. В то же время формализация теории, предназначенной для изучения какого-либо содержательного объекта, в некоторых случаях может ограничить возможности теории в смысле полноты описания свойств этого объекта. Так обстоит дело, например, с формальной арифметикой натуральных чисел в языке первой ступени, которая не полна по отношению к содержательной теории натуральных чисел и не может быть пополнена, что означает существование истинных арифметических предложений, которые не могут быть доказаны в формальной арифметике (т.е. формально не следуют из её аксиом). Это явление иногда расценивается как отрицательное свойство всех формальных теорий, однако оно относится только к теориям в языке первой ступени. Что касается более богатых языков, то этот вопрос для них в достаточной мере ещё не изучен. Например, в языке второй ступени формальная арифметика семантически полна [Б.Д].
6. Что есть истина в математике
В естественных науках под истинностью какого-либо предложения (в языке данной науки) понимается определённая адекватность семантического значения этого предложения семантическому значению соответствующего предложения в “языке фактов”. Язык фактов - это естественный или символический язык, который используется для описания результатов наблюдений или экспериментов в какой-либо области реального мира. При этом молчаливо предполагается, что описание фактов адекватно самой реальности, поскольку в противном случае теряется познавательное значение науки. Такое понимание научной истины обладает существенным недостатком: оно зависит от тезавруса, т.е. накопленных ранее знаний и базовых языковых конструкций, от технических достижений в области эксперимента и т.п., т.е. является относительным и зависящим от времени. С этим приходится мириться, поскольку других возможностей нет. Однако естественным и общепринятым свойством истины является её неизменность, т.е. независимость от времени и других условий. Прагматический подход к математике ставит математику в один ряд с естественными науками и потому не позволяет говорить о надёжной истинности её теорем (что проходит красной нитью в книге [Кла]). На самом же деле ситуация в математике принципиально иная: как свидетельствует исторический опыт, однажды доказанные предложения - теоремы остаются доказанными (в данной теории) навсегда. Например, в книге [К,У] по этому поводу сказано следующее: «В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать». Одного этого достаточно, чтобы не сомневаться в прочности математического здания и высшей степени объективности доказанных математических истин. Тем не менее, в свете современной математизации метаматематики мы должны рассмотреть этот вопрос с более формальных позиций.
Что же следует понимать под истинностью теорем в идеальной математике? Начиная с древности и до сравнительно недавнего времени математические понятия рассматривались как идеализированные объекты реального мира, а математические аксиомы считались очевидными свойствами таких объектов. Доказательство какого-либо утверждения представляло собой цепочку умозаключений, каждое из которых сохраняет истинность, идущую от бесспорных посылок. Поэтому считалось, что доказанность теоремы гарантирует её реальную истинность, так что эти понятия просто отождествлялись. При таком взгляде вопрос о непротиворечивости системы посылок не возникал. В новое время, когда математические понятия не соотносятся с реальными объектами, а модели математических теорий строятся внутри самой математики, сходное по форме понятие истинности изменилось по существу. Прежде всего, ссылка на содержательный («реальный») смысл исходных понятий и их свойств уже не считается гарантией непротиворечивости даже интуитивно построенной содержательной теории. Поскольку в противоречивой теории доказуемы и ложные предложения, то доказательство непротиворечивости теории (или, что то же, системы её аксиом) стало непременным условием истинности её теорем. Относительно доказательств следует отметить, что для формальных теорий понятие доказательства имеет точное формальное определение. При этом вопрос о том, является ли произвольная цепочка формул доказательством или нет, решается алгоритмически, т.е. объективно, и следовательно, множество доказательств разрешимо. (Заметим, что это не означает разрешимости множества теорем. Оно неразрешимо уже для чистой логики предикатов). Что касается неформальных доказательств, составляющих фактическое большинство и в наше время, то по современным меркам они должны быть настолько «логическими», чтобы был возможен перевод их в формальные. Можно сказать, что тезис Гильберта (см. п.3) теперь фактически является не гипотезой, а требованием, которому должны удовлетворять математические доказательства. Таким образом, одна компонента понятия истинности математических теорем - доказанность - выглядит вполне надёжно обоснованной. Подробнее о ней мы ещё скажем ниже. Иначе обстоит дело с непротиворечивостью, о чём мы также будем говорить ниже.
Итак, мы можем констатировать, что вопрос об истинности теорем сводится к вопросам правильности доказательств и непротиворечивости теорий. Ниже мы рассматриваем возможные решения этих вопросов не только для формальных, но и для содержательных теорий.