Содержание
Введение
1. Небольшой исторический экскурс
2. Построение фундамента для математики в 20-м веке
3. Об интуиции в математике
4. Основания математики - современное состояние
4.1 Язык
4.2 Формальная теория
4.3 Доказательство
4.4 Интерпретация и модель
4.5 Логика
4.6 Непротиворечивость
5. О математике вообще
6. Что есть истина в математике
7. О доказательствах
8. Подробнее о непротиворечивости
9. Непротиворечивость логики предикатов
Заключение
Резюме
Литература
Введение
Если спросить человека, далёкого от науки, об истинности математических теорем, то скорее всего он скажет, что они абсолютно истинны. Напротив, многие высказывания, опубликованные людьми науки на эту тему, утверждают невозможность определённого ответа на этот вопрос. Причиной такого разногласия является прежде всего различие взглядов на природу математических понятий, откуда вытекает и различное понимание истинности математических теорем. С другой стороны, понятие истинности теорем является метаматематическим и потому до тех пор, пока соответствующий раздел метаматематики не был формализован и тем самым превращён в часть математики, обсуждение этого вопроса могло носить только философский характер. Однако, если выбор философской концепции, в основном - дело вкуса, то от математики требуется определённая объективность решений.
Насколько актуален вопрос об истинности математических теорем в наше время, когда человечеством накоплен большой опыт, подтверждающий, с одной стороны, стабильность математических знаний, а с другой стороны - неизменную успешность применения математики в самых разнообразных областях науки и техники? Как это ни покажется странным, в свете внутреннего развития математики этот вопрос приобрёл ныне особую значимость в связи с произошедшим в последнее время изменением трактовки некоторых важных математических и метаматематических понятий.
Начиная с древности и до последнего времени существуют учёные, которые считают математику естественной наукой, предназначенной для изучения свойств реального мира, и критерием истинности математических утверждений полагают их соответствие «реальным фактам». Последнее и является главной причиной их пессимизма, поскольку вопрос об адекватности математических моделей реальным ситуациям всегда будет находиться за пределами математики и, более того, - за пределами достоверных знаний. В то же время математика отличается от других наук абстрактным характером и идеальностью своих понятий, что даёт основание считать её теоремы абсолютно истинными.
Целью настоящей работы является по возможности объективный ответ на вопрос об истинности математических теорем, для чего необходимо уточнить само понятие истинности в математике. Это мы постараемся сделать в п.6, но прежде необходимо рассмотреть эволюцию некоторых математических понятий.
Математика, как и всякая наука, представляет собой систему понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) в определенном языке. Однако, в отличие от всех остальных наук, семантика математического языка не является фрагментом реального мира, но является элементом самой математики. Поэтому можно сказать, что математика является наукой, замкнутой в самой себе. При всём том значительная часть математики используется для решения задач, возникающих при изучении реального мира, что дало основание считать математику естественной наукой.
Вопрос об истинности математических теорем зависит прежде всего от взгляда на природу самой математики, а также от понятия доказательства и некоторых других математических и метаматематических понятий. На эти понятия в научной и философской среде существуют разные точки зрения. 20-й век явился переломным в трактовке многих математических и философских вопросов в математике, хотя бы потому, что значительная часть метаматематики была математизирована и такие понятия, как доказательство и логика, используемая для его построения, приобрели вполне определённый формальный смысл. Эти достижения позволяют нам взглянуть на вопрос об истинности математических утверждений с совершенно новых позиций. При этом надо сказать, что пессимистические высказывания в адрес математики появились в основном в конце 19-го начале 20-го веков, когда обнаруженные антиномии в традиционно построенной теории множеств поколебали веру в непогрешимость математической интуиции.
С античных времен существуют различные взгляды на природу и назначение математики. В соответствии с отношением к реальному миру их можно разделить на два вида, которые мы условно назовем прагматическим и идеальным. С прагматической точки зрения математика является естественной наукой, служащей для познания закономерностей материального мира и черпающей из него свои понятия и задачи, причём последним критерием истинности математических постулатов и теорем считается их соответствие каким-либо реальным аналогам. Однако, по самой природе естественнонаучного знания, не существует возможности установить или опровергнуть наличие такого соответствия, во-первых, потому, что все естественнонаучные знания имеют индуктивный характер, и во-вторых, потому, что мы не можем гарантировать адекватного истолкования наших наблюдений и экспериментов. Кроме того, математический язык настолько универсален, что пригоден для описания многих виртуальных миров, в частности, несовместимых с «реальным». Поэтому говорить о каком-то особом соответствии математического языка именно реальному миру необоснованно. Существуют и другие трудности сопоставления математических закономерностей реальным фактам, о чём будет сказано в дальнейшем.
С идеальной точки зрения математика является независимой наукой, развивающейся по своим собственным закономерностям и непосредственно с материальным миром не связанной. Здесь, правда, возникает вопрос о причинах успешной применимости математических теорем к реальному миру, на который можно дать различные ответы. С античных времен и вплоть до 19-го века была широко распространена точка зрения, согласно которой мир был создан в соответствии с математическими законами, познавая которые, мы познаём и свойства реального мира. В книге [Кла], по этому поводу сказано следующее: «В трудах Коперника, Кеплера, Декарта, Галилея и Паскаля было доказано, что некоторые явления природы протекают в соответствии с математическими законами. Все эти ученые не только были глубоко убеждены в том, что Бог сотворил Вселенную по математическому плану, но и утверждали, что математическое мышление человека согласуется с божественными предначертаниями и потому пригодно для расшифровки этого плана». В новое время такое объяснение стало недостаточным, но никакой более подходящей альтернативы предложено не было. Мы вернёмся к этому вопросу в п.5.
В настоящей статье предлагается определенный взгляд на понятие истинности в (мета)математике и рассматривается вопрос о возможности убедительного доказательства истинности математических теорем. Несмотря на то, что в научной среде обычно преобладает прагматический подход к математике, всегда существует и идеальная точка зрения на математику, без которой математика превратилась бы в теоретические разделы различных естественных наук. Именно благодаря абстрактной математике человечество получило универсальный аппарат изучения самых различных явлений реального мира (см., напр. [К,У], [Виг]). Иногда говорят о существовании двух математик - теоретической и прикладной, однако правильнее было бы считать прикладные задачи специальным видом семантики для математических теорий, поскольку отделить прикладную математику от теоретической невозможно.
1. Небольшой исторический экскурс
Наиболее отчётливо различие во взглядах на природу математики проявилось у Платона (4 в. до Р.Х.) и его ученика Аристотеля. Первый, в соответствии со своей философской концепцией считал, что математика принадлежит миру чистых идей и потому её истины, как идеальные, абсолютны и неизменны. Напротив, приложения её к несовершенному миру вещей условны и преходящи, и в то же время постигнуть свойства вещественного мира можно только с помощью идеальной математики. Аристотель явно стоял на прагматическом отношении к математике, отводя ей роль вспомогательного инструмента для физики, которая строится на основании чувственного опыта. В дальнейшей истории науки эти две точки зрения постоянно сохранялись и сохранились до настоящего времени, изменяясь только в соответствии с изменением взглядов на такие понятия, как логика, доказательство, реальный мир и др.
Естественно, что и взгляды на понятие истинности математических теорем с этих точек зрения могут быть различными. Как уже было сказано, некоторые приверженцы прагматической точки зрения считают, что критерием истинности математического предложения является соответствие его описываемым им фактам вещественного мира, т.е. результатам наших наблюдений и экспериментов. Несостоятельность такого критерия в наше время достаточно очевидна, позднее мы скажем об этом ещё несколько слов. Что касается идеальной точки зрения, то здесь вопрос об истинности математических теорем приобрёл в новое время в значительной мере формальный характер, о чём речь будет идти в дальнейшем.
Основные принципы построения математики были явно провозглашены еще в античности. Аристотель определённо заявил о необходимости дедуктивного построения математических доказательств. При этом он считал, что истинность аксиом устанавливается безошибочной интуицией, а не опытом, который всегда имеет индуктивный характер, и шаги дедукции также определяются интуицией. В то же время он сформулировал некоторые логические принципы, которые следовало применять при построении доказательств. Можно считать это началом сознательного замещения интуитивной очевидности логическими заключениями. Этот процесс затянулся более, чем на два тысячелетия и принёс первые плоды только в новое время и в узком круге математических теорий, в то время как подавляющее большинство других математических теорий по-прежнему строится на интуитивной основе, но об этом - ниже. Позднее Евклид (3-й век до Р.Х.) описал аксиоматику геометрии, которая долгое время служила образцом для построения аксиоматических теорий, хотя с современной точки зрения она таковой не является. Дальнейшее развитие математики, вплоть до конца 19-го - начала 20-го веков имело в основном прагматический характер, когда математика применялась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных» средствах построения математических понятий и доказательств. Ввиду отсутствия самого понятия математической логики, главным инструментом доказательств являлась интуиция. В наше время, несмотря на появление формальных понятий логики и доказательства, подавляющее большинство доказательств строится на интуитивной основе. Поэтому вопрос о природе и роли интуиции в математике нуждается в специальном рассмотрении.
Решительная апология прагматического подхода к математике с детальным историческим обзором содержится в книге [Кла], но современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно). Сугубо прагматический подход соединяется в ней с крайне отрицательным отношением к “чистой” математике. Хорошо известно, что многие важные разделы математики зарождались в связи с потребностью решения прикладных задач, однако подавляющее большинство задач не могло бы быть решено без соответствующего развития абстрактной математики. Приверженцы прагматического подхода к математике основывают свою точку зрения на первом факте, хотя, строго говоря, он ничего не говорит в их пользу. В действительности процесс развития математики более правильно описывает следующее высказывание из работы [Мев], опубликованной ещё в 1913 году: «…хотя математика возникает как средство для естествознания, но при своем развитии математический интерес получает для нас самостоятельное значение. … Перейдя за пределы простого средства, математика начинает развиваться совершенно свободно, под влиянием одних внутренних потребностей. Тогда никакие посторонние соображения уже не могут влиять на развитие математики и математика становится вполне автономной… Критерием ценности всех математических теорий становится уже не приносимая ими польза для познания внешнего мира, а лишь внутренняя стройность, красота и порядок, достигаемые при их помощи в нашем собственном сознании».
2. Построение фундамента для математики в 20-м веке
Вопрос о построении прочного фундамента математики, хотя и ставился некоторыми математиками в 19-м веке и ранее, но настоящую остроту он приобрёл после обнаружения противоречий в канторовской теории множеств, поскольку на неё возлагалась основная надежда построения основания для всей математики. Причиной такой надежды явилось то обстоятельство, что, с одной стороны, теория множеств основана на интуитивно очень простом и ясном понятии множества, более простом, чем понятие числа, и с другой стороны, в ней выразимы основные понятия Арифметики и Анализа, так что построив их модели в теории множеств, можно было бы доказать их непротиворечивость в случае надёжной непротиворечивости теории множеств. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены противоречия (обычно называемые парадоксами).
Наиболее простое из них - так называемый парадокс Рассела состоит в следующем. Все множества можно разделить на два вида: множества, содержащие самого себя в качестве своего элемента и множества, не содержащие себя в качестве элемента. Нетрудно привести примеры тех и других. Рассмотрим теперь множество Р всех множеств второго вида и поставим вопрос, какому виду оно принадлежит. (Оно должно принадлежать одному из этих видов, поскольку они исчерпывают все множества). Предположим, что множество Р принадлежит первому виду, т.е РОР. Тогда, поскольку Р состоит только из множеств второго вида, то РПР, т.е. РОР => РПР (1). Предположим теперь, что множество Р - второго вида, т.е. РПР. Тогда Р должно быть множеством первого типа, т.е. РОР. Итак, получили: РПР => РОР (2). Из (1) и (2) получаем: РОР РПР - противоречие.
В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута.
Другие попытки решения вопроса об основаниях математики происходили в основном с трёх разных позиций или направлений, которые получили названия интуиционизма, логицизма и формализма. Схематически эти направления можно охарактеризовать следующим образом.
Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в основном благодаря трудам Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать «реальный смысл». Для реализации этой идеи интуиционисты предложили рассматривать только такие объекты, для которых имеется потенциально осуществимая процедура их построения. Они получили название конструктивных объектов. Чтобы не выйти за рамки конструктивных объектов, интуиционистам пришлось сузить и логику, отказавшись от закона исключённого третьего. Путём сужения допустимых понятий интуиционисты рассчитывали достичь надёжной истинности математических теорем, а тем самым и непротиворечивости такой математики. Однако этот расчёт не оправдался, во-первых, потому, что вместо ясности интуиционистские понятия и теоремы оказались в большинстве случаев сложнее классических аналогов и тяжелее воспринимаемыми человеческой интуицией, чем последние. Во-вторых, надежда на очевидную непротиворечивость конструктивной математики не оправдалась: как показали дальнейшие исследования, к ней сводится непротиворечивость классической математики (см. например, [Kли]). Кроме того, исключение из математики всех понятий, неподдающихся конструктивному определению, и, в частности, понятия актуальной бесконечности, привело к ликвидации важнейших достижений классической математики. По этому поводу вполне резонны высказывания Д.Гильберта, сделанные в 1927г.: «…закон исключённого третьего ни в малейшей степени не повинен в появлении известных парадоксов теории множеств; эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории доказательства исключаются сами собою. … Отнять у математиков закон исключенного третьего - это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксёру пользование кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключённого третьего почти равносильно полному отказу от математической науки. Действительно, какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны без применения е-аксиомы интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики!» Ввиду ограниченности объема статьи нам пришлось отказаться от большинства ссылок на публикации известных авторов.. Всё это естественно воспрепятствовало интуиционизму стать фундаментом всей математики. Главной причиной этой неудачи является, на наш взгляд, наложение на идеальные математические понятия искусственных ограничений, основанных на философских соображениях. Претензия интуиционистов на исключительную истинность своих воззрений и требование строить всю математику только на конструктивной основе послужили определённой изоляции этого направления от основной математики, хотя в некоторых её разделах (и в особенности - в метаматематике) использование конструктивного подхода вполне оправдано и иногда даже необходимо. Фактически гильбертовское понятие финитности есть не что иное, как одна из форм конструктивности. В своем развитии интуиционизм пошёл по пути формализма и, можно сказать, стал тенью классической математики, отбрасываемой на неровную поверхность. Детальная критика интуиционизма содержится в книге [Бун].