Логицизм возник на грани 19-20-го веков в связи с построением математической логики. Его основатели - Г.Фреге и Б.Рассел надеялись всю математику “вывести” из логики. Вот как характеризуется эта идея в книге [Кла]: «В начале ХХ в. Рассел, как и Фреге. надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то поскольку логика, несомненно, является сводом нетленных истин, математические законы также окажутся истинными - и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена». Для этого необходимо было определить основные математические понятия в рамках чистой логики и тогда все математические теоремы будут получаться как логические следствия. Фреге, как ему казалось, определил таким образом натуральные числа, к которым сводятся многие математические понятия, и построил для них арифметику. Б.Рассел, хотя и обнаружил в этой арифметике противоречие, однако продолжил попытку реализовать идею логицизма.
Несостоятельность этой идеи стала практически общепризнанной после неудачи всех попыток её реализации и осознания содержания и свойств логики. Фактически в основе логицизма лежит слишком широкое понимание логики. Тот факт, что в языке логики предикатов выразимы при определённой интерпретации многие математические понятия, ещё не означает, что эти понятия со всеми своими свойствами принадлежат логике. Согласно общепринятому определению логики, сформулированному ещё Лейбницем, с которым Рассел - один из главных творцов логицизма - был согласен, логика - это то, что истинно во всех мирах. Это означает, что логика не содержит никаких фактических истин, относящихся к какому-либо конкретному миру. Совершенно ясно, что математические истины таким свойством не обладают, хотя бы потому, что существуют противоречащие друг другу теории. Такое понимание логики не позволяет включать в неё конкретные отношения, даже если они определяются логическими средствами. Однако логицисты считали логическим всё то, что им удалось выразить в языке логики предикатов. Вот мнение Д.Гильберта о таком подходе: “Математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно - определённые внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления.”
Надо, однако, сказать, что окончательно вопрос о границах логики ещё не решен, но если говорить о принятой в современной математике классической логике предикатов первой ступени, то в силу её полноты, в рамках данного языка ни о каком расширении её речи быть не может. Что касается логики предикатов более высоких ступеней, то они не являются рекурсивно аксиоматизируемыми, и кроме того, недостаточно изучены. Поскольку позиции логицистов не были очерчены достаточно чётко, то варианты логицизма обсуждаются до последнего времени.
Формализм (или формальное направление в математике) представляет собой развитие древней идеи полной аксиоматизации математики, в модернизированном виде изложенную в так называемой “программе Гильберта”. Несмотря на то, что на поверхностный взгляд программа Гильберта была опровергнута результатами Гёделя, она фактически (с некоторыми поправками) стала главным подходом к основаниям математики. Поэтому рассмотрим её более подробно.
Программа Гильберта. Гильберт, пожалуй, был первым математиком, который провозгласил законность любой математической теории, для которой доказана её непротиворечивость, невзирая на возможность её содержательной интерпретации. В наше время такое утверждение не вызывает возражений, но ещё в начале 20-го века господствовала другая точка зрения, согласно которой математические понятия и теоремы с самого начала должны иметь содержательный смысл в виде аналогов в реальном мире или, точнее говоря, среди человеческих представлений о нём. Поэтому гильбертовская идеология вызвала неприятие со стороны прагматически настроенных коллег.
Уже древние греки хорошо понимали роль дедуктивного подхода к математике и значение четких логических правил для построения дедуктивных цепочек. Об этом свидетельствуют попытка Аристотеля описать такие правила, а также попытки Евклида и его предшественников аксиоматизировать математику. Однако в то время и долгое время спустя не было просто технических возможностей для формализации логики, а следовательно и математики. Само понятие логики не могло быть точно определено, поскольку для этого требуется чёткое разделение синтаксиса, как средства воплощения внешней формы теории, и семантики, как возможного содержания теории. Всё это стало ясным только в 20-м веке (хотя подобные идеи высказывал уже Лейбниц, 1646 - 1716). Начало систематического построения математической логики и, в частности, её языка положили Д.Буль (1815 - 1864), Г.Ф.Л.Фреге (1848 - 1925), Д.Пеано (1858 - 1932), Э.Ф.Ф.Цермело (1871- 1953). Современная форма математической логики в виде аксиоматизированной теории была выработана в основном благодаря работам Рассела и Уайтхеда, и в особенности Гильберта и Бернайса. Несколько позднее было разработано общее понятие формальной системы, частным случаем которой является аксиоматическая (или аксиоматизированная) теория. После того, как в “наивной” т.е. интуитивно построенной Г.Кантором (1845 - 1918) теории множеств были обнаружены противоречия, главной задачей в основаниях математики стало создание таких методов построения математических теорий, которые гарантировали бы их непротиворечивость. Интуиционизм фактически не давал и не мог дать никаких гарантий непротиворечивости математики, несмотря на сужение класса объектов и логики, поскольку не вносил принципиальных изменений в методы доказательства. Осуществимость логицистского подхода с самого начала была весьма проблематична и остановилась на уровне идей. Жизнеспособным и даже единственным путем дальнейшего развития математики явился путь, намеченный Д.Гильбертом в его “программе”. Хотя в то время в сознании математиков синтаксис математического языка был неотделим от содержания, Гильберт фактически предложил строить именно синтаксическую компоненту теории по чисто формальным правилам в виде аксиоматического исчисления, и формально же доказав его непротиворечивость, должным образом интерпретировать нужные теоремы. Разумеется, он понимал, что доказательство непротиворечивости теории её же средствами не имеет смысла, и поэтому он предполагал доказывать непротиворечивость “финитными” средствами, гарантирующими отсутствие противоречий. Точного понятия финитности он не дал, но судя по отдельным примерам, - это некоторая достаточно сильная форма конструктивности. Для того времени эта идея Гильберта была слишком необычной и вызвала критику многих его коллег, обвинивших его в “игре формулами”. Однако дальнейшее развитие оснований математики пошло именно по этому пути, несмотря на то, что Гёделем были доказаны такие отрицательные свойства достаточно богатых формальных теорий, как неполнота и несуществование в непротиворечивой теории доказательства её непротиворечивости (впрочем, это относится только к теориям в языке первой ступени - см. п.4).
Очень важной для развития математики оказалась сама идея отделения синтаксиса от семантики. Кроме того, гильбертовский подход привёл к появлению математизированной метаматематики (подробнее - в п.4).
истинность математика формальный доказательство
3. Об интуиции в математике
Вопросу о роли интуиции в науке, и в частности, в математике посвящено много работ (см. например, [Aсм], [Бун]) преимущественно философского характера. Ввиду большого разнообразия философских взглядов многие работы только запутывают главный вопрос о природе интуиции. Заметим сразу, что нас интересует только разновидность интуиции, которую принято называть «интеллектуальной», каковой является и математическая интуиция. Поэтому в дальнейшем слово «интеллектуальная» мы опускаем.
Следует сказать, что до 20-го века, в котором была создана математическая логика и появилась возможность построения чисто логических доказательств, интуиция считалась законным средством доказательства. Более того, Декарт, Паскаль и другие математики того времени говорили о ненадёжности логических доказательств по сравнению с интуитивным прозрением. Очень чётко такой взгляд на интуицию сформулировал Декарт в своих “Правилах для руководства ума” [Дек], где он пишет: “Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчётливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и то же, прочное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция…”. Надо сказать, что подобной точки зрения на интуицию вплоть до 20-го века придерживались все математики, несмотря на различие их философских концепций. Такое единство взглядов, а главное то, что интуитивно доказанные теоремы сохраняют свою правильность и в наше время, свидетельствует об объективной основе интуиции. После обнаружения противоречий в интуитивно построенной теории множеств отношение к понятию интуиции существенно изменилось и формально математическое доказательство стало считаться правильным, если оно построено только по логическим законам. Однако фактически понятие доказательства в содержательной (т.е. неформализованной) математике осталось прежним, а именно, оно строится иногда со ссылками на логику, но большей частью шаги дедуктивной цепочки обосновываются интуитивной очевидностью. При этом критерием объективности (а потому и правильности) такого доказательства служит апробация коллективом других математиков. Таким образом, по-прежнему в основе неформального понятия доказательства лежит интуиция, объективность которой обосновывается путём апелляции к определенному коллективу людей. Этот, на первый взгляд субъективный критерий, действовал во все времена и дал миру необозримое множество математических теорем, истинность которых, в отличие от достижений эмпирических наук, не подвержена влиянию времени: теоремы, доказанные в древности, верны и в наше время. Поэтому естественно предположить, что этот факт имеет объективную причину, которая заключается в способности человеческого разума непосредственно усматривать определенные истины (по крайней мере, - логические).
Отсутствие вплоть до 20-го века какого-либо полного описания логики, а потому и общепринятого понятия доказательства не помешало строить в подавляющем большинстве случаев логически правильные доказательства. Если приведенное выше высказывание Декарта выражало мнение всех его современников и предшественников, то в наше время ситуация изменилась в связи с появлением нового раздела математики, посвящённого основаниям математики и включающего в себя основные метаматематические понятия. Появлению этого раздела сопутствовало создание формальной математической логики и общих понятий формальной теории и формального доказательства. В связи с этим изменились требования и к неформальным доказательствам: теперь от них требуется, чтобы каждый шаг дедукции мог быть осуществлен по правилам математической логики. Нельзя сказать, что это требование выполняется во всей математике, однако в теориях, связанных с основаниями математики, такое условие необходимо. Возникает вопрос: всякое ли интуитивно построенное доказательство может быть преобразовано в формально-логическое? Поскольку интуитивные доказательства так же, как и формальные, строятся в виде дедуктивных цепочек, то можно говорить о некоей логике интуитивных доказательств - интуитивной или содержательной логике. Поставленный вопрос может быть решён положительно, если установить равносильность содержательной и формальной логик. В наше время на основании опыта построения формальных теорий принято считать, что содержательная логика отличается от формальной только наличием укрупнённых правил, которым соответствуют производные (т.е. доказуемые) формальные правила. Это означает, что для всякого содержательного доказательства существует эквивалентный формальный аналог, построенный в рамках классической логики предикатов и являющийся восполнением интуитивного доказательства. Принятие этого утверждения в качестве рабочего тезиса не менее оправдано, чем принятие тезиса Чёрча Тезис Чёрча утверждает эквивалентность интуитивного понятия вычислимой функции (в смысле потенциальной возможности её вычисления) и понятия алгоритмически вычислимой для формального понятия алгоритма. Несмотря на то, что в математике существует несколько формальных понятий алгоритма, доказана их функциональная эквивалентность (т.е. совпадение классов вычислимых ими функций). для вычислимых функций [Кли]. Фактически, этот тезис уже принят в современной математике и называется иногда “тезисом Гильберта”(см., напр.,[Бар], с.49).
Если обратиться к истории не только математики, но и науки вообще, то легко убедиться в том, что большинство кардинальных научных открытий произошло путём неожиданных «прозрений», т.е. интуитивно, а не путём логических умозаключений. Сам термин «интуиция», обозначающий в переводе на русский язык «усмотрение» или «видение», т.е. непосредственное восприятие объекта, даёт основание утверждать существование у человека определённой способности «интеллектуального умозрения», наподобие чувственного зрения. Об этом же свидетельствует вся история попыток «научить» вычислительные машины доказывать математические теоремы хотя бы на уровне человека. Большое число самых разных программ не дало ожидаемых результатов, и как теперь стало ясно, формальный подход не может их дать ввиду чрезвычайной сложности задачи, заведомо недоступной для сколь угодно мощной техники (даже в далёкой перспективе). Этот факт вынуждает нас признать наличие у человека особой способности восприятия логических истин, отличной от обычного логического мышления. Эта способность, в силу её принципиальной неформализуемости, не может быть смоделирована в автоматах, и потому любой искусственный интеллект будет ущербен по сравнению с человеческим интеллектом. Поэтому интуиция никогда не потеряет своего значения как важный инструмент познания.
Определённый взгляд на значение интуиции в математике связан с интуиционизмом, о котором шла речь в предыдущем пункте.
4. Основания математики - современное состояние
Сначала заметим, что “современное состояние” оснований математики сложилось фактически в середине 20-го века и с тех пор основные концепции практически не изменились, несмотря на получение множества частных результатов. Это отнюдь не означает, что данная проблематика исчерпана или зашла в тупик. Поскольку вопрос обоснования математики является пограничным между философией и математикой (принадлежит метаматематике - в терминологии Гильберта), то его разрешение должно состоять в выработке общепризнанной концепции, возможно синтезированной из разных направлений.
К числу основных достижений 20-го века в области оснований математики следует отнести:
1. Выработку понятия формального языка и формальной системы (исчисления) и порождаемой ею теории.
2. Создание математической логики в виде непротиворечивой семантически полной формальной системы.
3. Создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных разделов математики.