Материал: Исследование нелинейных систем методами Ляпунова

Здесь  - решение системы (36);  - корни характеристического полинома матрицы  (37);  - достаточно малое число.

Справедливость теоремы вытекает из следующих фактов. В силу непрерывности матрицы  и постоянства коэффициентов её гурвицевого характеристического полинома, матрица  стремится при  к постоянной матрице , которая является устойчивой. Поэтому существует симметрическая положительно-определенная матрица  такая, что производная по времени функции  на траекториях нелинейной системы (36) при достаточно малых  является отрицательно-определенной функцией.

Поскольку теорема 8 не гарантирует асимптотической устойчивости в целом нелинейных гурвицевых систем типа (36), то необходимо всегда оценивать область притяжения их положения равновесия . Для этой цели целесообразно использовать метод численного моделирования с помощью ЭВМ, так как аналитические методы (например, на основе равенства (22)) дают слишком грубые оценки область притяжения. Область начальных условий , в которой решения системы (36) будут затухающими, и будет являться искомой областью притяжения.

Характеристический полином матрицы  (37), согласно [7], определяется выражением

, (39)

Где

, (40)

, (41)

где , , , .

Пусть

 (42)

- желаемый гурвицевый полином матрицы  системы (36). На основе полиномов (40), (41) составляется [8] система

, (43)

где , .

Замечание. Соотношения (40) - (43) могут использоваться для определения коэффициентов  модального управления (7.4) и при постоянных матрице A и векторах b, c и k.

Пример 8. Найти управление, стабилизирующее частоту синхронного генератора при постоянном напряжении возбуждения и отсутствии насыщения в магнитных цепях. Синхронный генератор и турбина описываются уравнениями

, ,

, (44)

где - угол поворота ротора относительно синхронной оси вращения, - скольжение, - отклонение механической мощности турбины, , - конструктивные постоянные, , - дифференцируемые нелинейности, удовлетворяющие (34).

Решение. В квазилинейном представлении (35) уравнений (44) матрица  и вектор  определяются выражениями

, .

Здесь , , .

По формулам (39), (40) определяются полиномы: , ,  и , где , .

Пусть в качестве желаемого выбран полином , удовлетворяющий критерию Гурвица. Система (43) в данном случае имеет решение: , , .

Следовательно, искомое управление для заданной системы (44) определяется равенством:  .

Подставляя найденные выражения для функций ,  в равенство (37), найдем матрицу . Нетрудно установить, что её характеристический полином совпадает с выбранным выше полиномом , т.е. в соответствии с теоремой 8 нелинейная система (44) при найденном управлении асимптотически устойчива при . Область  может быть найдена, как отмечалось выше, методом компьютерного моделирования.

. Построение функций Ляпунова

Основной сложностью второго метода Ляпунова является отсутствие общего метода построения функций Ляпунова для заданной нелинейной системы. В общем случае функция Ляпунова определяется решением нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. Известные методы позволяют решить эту задачу лишь в отдельных частных случаях. При этом решение дифференциальных уравнений в частных производных для построения функции Ляпунова значительно осложняется требованием знакоопределенности самой функции Ляпунова  и ее производной по времени на траекториях исследуемой системы.

В настоящее время известно много различных приемов или методов, которые позволяют решить задачу построения функций Ляпунова, но лишь в некоторых частных случаях [2, 4, 11, 21].

Рассмотрим в качестве примера метод деления переменных, предложенный Е.А. Барбашиным [2]. Это один из часто используемых методов построения функций Ляпунова для систем второго порядка. Применим он для систем, описываемых уравнением следующего вида:

. (45)

В этом методе предполагается построение  в виде суммы двух функций

 (46)

каждая из которых зависит лишь от одного переменного  и .

Пусть ,  Тогда уравнения системы принимают вид

 .

Производная по времени функции (46) вдоль траекторий этой системы определяется выражением

Барбашин предложил выбирать функции  и  так, чтобы

. (47)

Тогда

 (48)

Раскрывая соотношение (47) в виде пропорции и приравнивая последнюю к единице, получим

Отсюда следуют равенства

Подставляя найденные выражения для  и  в

(45) и (48), получим

  (49)

Из условий

можно найти условия на функции , , , при которых будут выполняться условия теоремы Барбашина-Красовского и при которых положение равновесия  системы будет устойчиво.

Пример 9. Исследовать устойчивость положений равновесия судна, уравнение бортовой качки которого на "тихой" воде имеет вид

 (50)

где - момент инерции судна,  - коэффициент вязкого трения, - восстанавливающий момент. Возможные зависимости его от угла крена  судна приведены на рис. 8 и 9. На этих рисунках угол  соответствует положению судна "килем вверх".

Рис. 8

Решение. Сравнивая уравнение бортовой качки судна (50) с уравнением (45), заключаем, что имеют место соответствия

    .

Следовательно, для построения функции Ляпунова можно воспользоваться методом Барбашина.

Подставляя соответствующие функции в равенства (49), найдем искомую функцию Ляпунова и её производную по времени вдоль траекторий системы (50):

  (51)

Здесь возможны два варианта. Если зависимость восстанавливающего момента от угла крена имеет вид, показанный на рис. 8, то функции (51) удовлетворяют условиям теоремы Барбашина-Красовского в окрестности положения равновесия . Следовательно, положение равновесия  в этом случае будет асимптотически устойчивым в области , где , причем коэффициент  зависит от значений .

Рис. 9

Если же зависимость восстанавливающего момента  от угла  имеет вид, показанный на рис. 9, то в окрестности основного положения равновесия  уравнение (50) будет иметь ещё два положения равновесия  и . При этом в соответствии с той же теоремой и приведенными выражениями (51) положения равновесия  и  будут устойчивыми, а основное положение равновесия  будет неустойчивым. В этом случае судно будет двигаться с креном  либо на левый, либо на правый борт.

6. Об исследовании качества нелинейных систем

приближение ляпунов суперпозиция нелинейный

В силу невыполнимости принципа суперпозиции в нелинейных системах известные критерии качества переходных процессов, такие как время регулирования, перерегулирование, колебательность, определяемые по переходной функции системы при нулевых начальных условиях, строго говоря, теряют свой смысл, так как при различных начальных условиях указанные показатели в случае нелинейных систем будут принимать различные значения. Поэтому качество нелинейных систем чаще всего оценивают либо с помощью интегральных оценок, определяя их максимальное значение по всей области притяжения, либо ограничиваются определением минимального или максимального времени регулирования. Для этой цели часто используются функции Ляпунова [2]. Особенно удобными для этой цели являются квадратичные формы.

Очень часто нелинейные системы синтезируются как оптимальные по быстродействию, т. е. управление определяется таким образом, чтобы при любых начальных условиях из области притяжения время регулирования (или длительность переходного процесса) было минимальным [15, 22]. Практически это значит, что при различных начальных условиях длительность переходного процесса будет различна, но время переходного процесса при оптимальном управлении будет меньше, чем при любом другом управлении.

В связи с большой сложностью получения аналитических решений уравнений нелинейных САУ оценка качества синтезированных систем чаще всего осуществляется путем моделирования. Для этой цели удобнее всего использовать цифровые вычислительные машины при достаточно малом периоде квантования переменных по времени. Если используется программа без автоматического выбора (по заданной точности решения) шага квантования по времени, то его необходимо выбирать следующим образом.

Определяется некоторый достаточно малый период квантования по времени , при котором переходные процессы моделируемой устойчивой системы являются затухающими. Затем период квантования уменьшается в два раза, и сравниваются процессы, полученные при  и . Уменьшение периода квантования  продолжается до тех пор, пока процесс, получаемый при , не будет отличаться от процесса, получаемого при , на величину, меньшую заданной погрешности моделирования непрерывной динамической системы. Дальнейшие расчеты проводятся при .