Материал: Исследование нелинейных систем методами Ляпунова

Исследование нелинейных систем методами Ляпунова

Контрольная работа

Исследование нелинейных систем методами Ляпунова

Содержание

1. Понятие возмущенного и невозмущенного движения

. Метод первого приближения

. Метод функций Ляпунова

. Исследование систем методом функций Ляпунова

. Построение функций Ляпунова

. Об исследовании качества нелинейных систем

Литература

1. Понятие возмущенного и невозмущенного движения

Любая динамическая система способна совершать множество движений, вызываемых теми или иными причинами. Среди этого множества существуют движения, которые система должна совершать в соответствии со своим назначением. Это движение Ляпунов предложил называть невозмущенным движением [20]. Для обеспечения работоспособности систем управления и других динамических систем необходимо, чтобы это движение было устойчивым.

В настоящее время это движение системы чаще называют эталонным, желаемым или номинальным движением [3, 25]. Все другие движения системы, отличающиеся от невозмущенного, называются возмущенными движениями.

В общем случае движения нелинейной системы описываются некоторой системой дифференциальных уравнений

, (1)

где - нелинейная вектор-функция, - вектор состояния системы, - вектор начальных условий, а - некоторая нелинейная вектор-функция, удовлетворяющая условиям существования и единственности решения [5, 20, 25].

Решением системы (1) является вектор . На рис. 1 показаны графики возможных движений некоторой динамической системы. На этом рисунке кривые  соответствуют невозмущенному движению, а кривые  и  описывают возмущенные движения при различных начальных условиях  и . Причем на рис. 1,а показаны графики движений системы при устойчивом невозмущенном движении , а на рис. 1, б - графики движений системы с неустойчивым невозмущенным движением . Здесь и в дальнейшем - обобщенное входное воздействие, а - начальные условия, при которых возникает невозмущенное движение системы; - другие начальные условия.

а

б

Рис. 1

В дальнейшем невозмущенное движение будет обозначаться

. (2)

При этом функция (2) является решением системы дифференциальных уравнений (1). К невозмущенному обычно относят движение системы при номинальных значениях параметров и воздействий, желаемое движение системы или её экстремальное движение.

Аналогично, функция

 (3)

описывает возмущенные движения динамической системы и также является решением системы нелинейных дифференциальных уравнений (1).

По предложению Ляпунова при исследовании устойчивости рассматриваются не все возмущенные движения, а лишь те, которые вызываются начальными условиями  при условии, что . Поэтому в дальнейшем будут рассматриваться возмущенные движения только вида . С тем, чтобы упростить задачу исследования устойчивости невозмущенного движения, обычно рассматриваются отклонения  возмущенного движения  от невозмущенного . С этой целью вводится вектор отклонений. .

Чтобы получить уравнения движения системы в отклонениях, продифференцируем  по времени и учтем, что и вектор , и вектор  удовлетворяют уравнению (1), так как являются его решениями. Тогда с учетом (3) будем иметь

или

, (4)

где . При этом, очевидно, всегда выполняются условия

, (5)

. (6)

Уравнение (4) и есть нелинейное уравнение в отклонениях возмущенных движений исследуемой системы (1). Его решение  описывает невозмущенное движение этой системы. Другими словами, в переменных состояния  невозмущенное движение описывается выражением  или, как часто говорят, нулевым, тривиальным решением системы (4). Последнее, в силу условия (6), соответствует положению равновесия системы (4). Остальные решения  этой системы описывают возмущенные движения исследуемой системы (1) или эквивалентной ей системы (4). Решение , очевидно, описывает свободное движение системы (4).

Таким образом, задача исследования устойчивости движений нелинейных динамических систем достаточно общего вида (1) сведена Ляпуновым к задаче исследования устойчивости положения равновесия нелинейной дифференциальной системы (4) и состоит в изучении характера общего решения этой системы. Для решения этой задачи А. М. Ляпуновым было предложено два метода. Первый из них заключается в линеаризации системы (4), т.е. в изучении свойств системы первого приближения [3, 5, 25], а второй в применении специальных функций Ляпунова.

2. Метод первого приближения

Ляпунов в своей докторской диссертации, в частности, нашел и теоретически обосновал условия применимости уравнений первого приближения (применявшихся и ранее) для исследования устойчивости движений нелинейных систем. Эти уравнения строятся по уравнению (4) и имеют вид:

  (7)

где

 (8)

Ляпуновым были доказаны теоремы, позволяющие установить устойчивость или неустойчивость невозмущенного движения нелинейной системы (1) или, что то же самое (4), путем исследования её системы первого приближения (7), (8).

Обычно этот способ называют или первым методом Ляпунова, или методом первого приближения, или методом линеаризации.

Он может быть применен к исследованию нелинейной системы (4), если только - непрерывная, дифференцируемая вектор-функция, а отклонения  малы по норме, т.е. , где - некоторое малое число.

Далее под нормой  будет пониматься одно из следующих выражений:

 или     . (9)

Уравнения (7) часто называются линейными уравнениями в отклонениях системы (1) или (4).

Теоремы Ляпунова метода первого приближения. Обозначим через ,  собственные числа матрицы , т.е. корни уравнения . А. М. Ляпунов доказал следующие теоремы [20].

Теорема 1 (об асимптотической устойчивости). Если вещественные части всех собственных чисел матрицы  системы первого приближения (7) строго меньше нуля, т.е.

, (10)

то невозмущенное движение нелинейной системы (1) и положение равновесия  системы (4) асимптотически устойчивы.

Под асимптотической устойчивостью понимается следующее. Если , где - достаточно малое число, то выполняются условия

, , (11)

где - некоторое число, зависящее от .

Ситуация, соответствующая условиям (11), показана на рис. 2.

Определение. Область начальных значений, при которых выполняются условия (11), называется областью притяжения или областью асимптотической устойчивости.

Рис. 2.

Например, областью притяжения на рис. 3 является внутренняя область замкнутой кривой, показанной пунктирной линией. Само положение равновесия (0,0) в данном случае называется аттрактором (притягивающим положением равновесия).

Рис. 3

Определение. Если областью притяжения положения равновесия некоторой системы является все фазовое пространство, то она называется асимптотически устойчивой в целом. ■

Отметим, что матрица А, собственные числа которой удовлетворяют условию (10), называется устойчивой матрицей [10, 21]. При этом система (7) является асимптотически устойчивой в целом.

Теорема 2 (о неустойчивости по первому приближению). Если среди собственных чисел матрицы  системы первого приближения (7) найдется хотя бы одно число с положительной вещественной частью, т.е.

 , , (12)

то невозмущенное движение нелинейной системы (1) и положение равновесия  системы (4) являются неустойчивыми, т. е. условия (11) не выполняются.

Теорема 3 (о невозможности исследования устойчивости по первому приближению). Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется один или несколько с нулевыми вещественными частями, а остальные корни имеют отрицательную вещественную часть, то об устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения нелинейной системы (1) и положения равновесия  системы (4) сказать ничего нельзя. ■

Пример 1. Исследовать зависимость устойчивости положения равновесия  от параметра  системы, описываемой уравнениями

,

,     ,

.

Следовательно, система первого приближения в данном случае имеет вид

.

Собственные числа матрицы , очевидно, равны , .

Применяя теперь теоремы Ляпунова, приходим к следующим выводам:

а) при , все собственные числа имеют отрицательную вещественную часть. Поэтому, в соответствии с теоремой 1, положение равновесия  исследуемой нелинейной системы асимптотически устойчиво;

б) при , одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть. В соответствии с теоремой 2, положение равновесия  исследуемой нелинейной системы является неустойчивым;

в) при , в соответствии с теоремой 3, нельзя сделать каких либо заключений об устойчивости положения равновесия  рассматриваемой нелинейной системы (устойчиво оно или неустойчиво). ■

Большим преимуществом первого метода Ляпунова является простота процедуры исследования устойчивости этим методом, так как к исследованию нелинейных систем можно применять критерии устойчивости линейных систем. Однако метод первого приближения применим, если только нелинейности системы являются дифференцируемыми функциями по всем своим аргументам.

Недостатком метода первого приближения является также и то, что приведенные выше теоремы оценивают устойчивость лишь в сколь угодно малой области отклонений вектора состояний от положения равновесия. При этом величина этой области не определяется.

. Метод функций Ляпунова

Этот метод не имеет ограничений по виду правых частей системы (1) или (4), кроме условий существования и единственности решения. Он может быть применен для исследования устойчивости движений любых систем дифференциальных уравнений, но, к сожалению, вплоть до настоящего времени не разработан общий метод построения функций Ляпунова, необходимых для решения вопросов устойчивости движения нелинейных систем.

При исследовании устойчивости движений нелинейных систем типа (1) этим методом также рассматривается система дифференциальных уравнений в отклонениях (4). Задача состоит в определении условий на вектор-функцию , при которых положение равновесия этой системы асимптотически устойчиво. Как отмечалось выше, положение равновесия  системы (4) устойчиво асимптотически, если её вектор состояния удовлетворяет условиям (11).