Материал: Исследование нелинейных систем методами Ляпунова

Здесь матрицы  и  из уравнения Ляпунова (20).

Если удается показать, что модуль первого слагаемого в (22) в некоторой области, включающей точку  пространства состояний системы (см. рис. 5, не заштрихованная область), больше модуля второго слагаемого, то в этой области, очевидно, будут выполнены условия теоремы 1, и, следовательно, при всех начальных условиях из этой области свободное движение исследуемой системы будет затухающим.

В этом случае положение равновесия  нелинейной системы (21) будет асимптотически устойчивым в большом. Указанная область (рис. 5) будет областью устойчивости или областью притяжения положения равновесия  рассматриваемой нелинейной системы (21).

Рис. 5

Пример 5. Исследовать устойчивость положения равновесия системы, показанной на рис. 6, двумя (первым и вторым) методами Ляпунова, если , а y - отклонение выходной переменной.

Рис. 6

Решение. Прежде всего, найдем уравнения заданной системы в переменных состояния. В соответствии с рис. 6 имеем равенства, , . Переходя к оригиналам, получим . Отсюда , так как .

Пусть , тогда . Следовательно, уравнения рассматриваемой системы в форме (4) имеют вид

  (23)

Первый метод Ляпунова. Здесь необходимо сначала построить уравнения первого приближения. По формулам (8) находим:

, , , .

Итак, уравнение первого приближения (7) заданной системы

(23) имеет вид

Характеристический полином этой системы

а его корни , . Так как один из корней равен нулю, то сделать какое-либо заключение об устойчивости или неустойчивости системы (23) по уравнениям первого приближения нельзя.

Второй метод Ляпунова. В качестве функции Ляпунова возьмем функцию . Ее производная по времени вдоль траекторий системы (23) определяется следующим образом:

Очевидно, функции  и  не удовлетворяют ни первой, ни второй теоремам Ляпунова, а удовлетворяют теореме Барбашина-Красовского. При этом функция  обращается в нуль при  и любом . Подставим эти значения в уравнения системы (23). В результате получим систему

,

,

траектории которой не принадлежат множеству , .

Следовательно, в силу теоремы Барбашина-Красовского положение равновесия исследуемой нелинейной системы асимптотически устойчиво в целом.

Часто нелинейная система имеет устойчивую линейную часть и одну нелинейность , где , причем

 и . (24)

В этих случаях в качестве кандидата в функции Ляпунова можно брать сумму

 (25)

Пример 6. Рассмотрим нелинейную систему

Функция  расположена в первом и третьем квадрантах, как показано на рис. 7. Исследовать устойчивость положения равновесия  данной системы.

Рис. 7

Итак, в силу первой теоремы Ляпунова данная система имеет асимптотически устойчивое в целом положение равновесия. ■

Градиентное управление. С помощью функции Ляпунова  в виде квадратичной формы (13), построенной для устойчивой линейной части нелинейной системы типа (21), можно синтезировать так называемое градиентное управление. Это управление обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом положения равновесия при наличии аддитивной с управлением ограниченной нелинейности. Покажем процедуру построения такого управления на примере.

Пример 7. Допустим, синтезируемая нелинейная система описывается уравнением

, (26)

где А - устойчивая матрица, - скалярная нелинейность такая, что

, , (27)

причем, если , то положение равновесия системы (26) - неустойчиво;  - управление. Вектор x - измеряется.

Необходимо найти управление , при котором замкнутая система асимптотически устойчива в целом.

Решение. Пусть матрица  является решением уравнения (20) при А из (26) и некоторой . Положим

, (28)

где  - подлежащая определению функция.

Так как произведение  является градиентом функции , то управление (28) называется градиентным.

Найдем условие выбора функции , определяющей интенсивность градиентного управления (28), при котором замкнутая система (26), (28) является асимптотически устойчивой в целом.

С этой целью найдем производную  в силу указанной системы. На основе приведённых выше соотношений находим

.

С учетом того, что матрица Р является решением уравнения Ляпунова (20), а матрица А - устойчивой, отсюда следует равенство

, (29)

где матрица .

Рассмотрим два случая.

. Пусть . Тогда в силу (28) , и из (29) вытекает соотношение

.

2.    Пусть теперь . Тогда, подставляя  из (28) в (29), получим

. (30)

Произведение  можно представить в виде

.

Поэтому из равенства (30) выводим

. (31)

Из условия (27) на нелинейность  следует, что значение разности в квадратных скобках соотношения (31) является строго положительным, если функция  удовлетворяет условию

, (32)

где  - положительно-определенная функция.

Таким образом, при условии (32) положительно-определенная функция  имеет отрицательно-определенную производную по времени  вдоль траекторий системы (33), (35) во всей области изменения вектора состояния . Следовательно, синтезированная система с градиентным управлением (28), (32) является асимптотически устойчивой в целом.

Условие  может выполняться лишь на некоторой гиперповерхности, в которой не могут лежать целые траектории системы (26), (28) (кроме начинающихся в точке ). Поэтому из выражений (30) и (32) следует, что почти во всех точках траекторий рассматриваемой системы выполняется условие

, .

На основе этого неравенства можно заключить, что путем изменения положительно-определенной функции  можно изменять скорость затухания функции Ляпунова, а, следовательно, и скорость затухания нормы решения  нелинейной системы с градиентным управлением.

Рассмотрим еще один пример применения функций Ляпунова в виде квадратичной формы для обоснования устойчивости положения равновесия нелинейной системы. При синтезе системы управления здесь используется квазилинейное представление модели нелинейной системы, а также полиномиальный подход, изложенный применительно к линейным системам в восьмой главе.

Квазилинейная модель. Рассмотрим нелинейную управляемую систему, которая описывается уравнением

,         (33)

где - доступный измерению вектор состояния системы; - непрерывная вектор-функция, причем

,    , (34)

при . Здесь  - некоторая область простран-

ства . В этих условиях уравнение (33) допускает квазилинейное [2] представление

, (35)

где  и - функциональные n-вектор и непрерывная -матрица, элементы которых определяются [2] выражениями:

, ,

где , - символ транспонирования.

Управление ищется в виде , где . Поэтому с учетом (35) уравнение системы (33) принимает вид

,    (36)

.   (37)

Обозначим - решение системы (33), (35) или (36). При этом , , а область  такова, что при всех  и  решение .

Необходимо найти непрерывный вектор  из (37), при котором

, (38)

т.е. обеспечивается асимптотическая устойчивость положения равновесия  замкнутой системы (33) или, что то же самое, системы (36) в некоторой области . Здесь - положительные постоянные.

Следующая теорема определяет условия существования области притяжения положения равновесия  системы (36).

Теорема 8. Если матрица  является непрерывной, а коэффициенты её характеристического полинома - постоянными числами, и этот полином удовлетворяет критерию Гурвица, то существует некоторая область , такая, что при всех  и  выполняется неравенство (6) при , .