Материал: Исследование нелинейных систем методами Ляпунова

Если положение равновесия  системы устойчиво асимптотически, то расстояние  изображающей точки от начала координат с течением времени убывает, возможно, немонотонно, как для примера показано на рис. 4. Если же особая точка  системы не является асимптотически устойчивой, то это расстояние не уменьшается при .

Идея второго метода Ляпунова заключается в построении некоторой функции , зависящей от вектора состояния исследуемой системы, положительной и монотонно убывающей с уменьшением . Если эта функция при  будет стремиться к нулю, подобно расстоянию изображающей точки от положения равновесия, то, очевидно, соответствующее положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Рис. 4

Другими словами, устойчивость или неустойчивость невозмущенного движения системы можно установить, исследовав характер изменения функции  с течением времени.

Такие функции получили название функций Ляпунова. Функции Ляпунова обычно всегда больше нуля и имеют отрицательную производную по времени (в случае устойчивости положения равновесия), определенную на траекториях исследуемой системы.

В связи с этим рассмотрим понятие знакоопределенных функций, т. е. положительно (отрицательно) определенных и знакопостоянных положительно (отрицательно) полуопределенных функций, а также понятие производной по времени вдоль траекторий динамической системы.

Рассмотрим функцию . Пусть эта функция дифференцируема, т.е. её частные производные  существуют при всех .

Определение. Функция  называется положительно-определенной, если при любом

,

а при

.

Положительно-определенная функция обозначается . Положительно-определенными функциями при  являются, например, функции

;           .

Определение. Функция  называется положительно полуопределённой, если

и

.

Положительно полуопределенная функция обозначается . Положительно полуопределенной функцией при  является, например, функция

.

Отрицательно-определенная функция  определяется так:

где

.

Отрицательно-определенная функция обозначается , а отрицательно полуопределенная .

Определение. Функция  называется бесконечно большой, если для любого числа  найдется  такое, что вне сферы  имеет место неравенство .

Квадратичные формы. Часто в качестве знакоопределенных функций используются квадратичные формы, т. е. функции вида

 (13)

или

.

Матрицы Р квадратичных форм обычно являются симметрическими матрицами, т. е. такими, у которых

. (14)

Условия положительной определенности квадратичной формы с симметрической матрицей состоят в следующем.

Критерий Сильвестра. Для положительной определённости квадратичной формы  (13), (14) необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры матрицы Р были строго больше нуля.

Матрицы Р, удовлетворяющие критерию Сильвестра, называют положительно-определенными и также обозначают.

Пусть матрица Р симметрическая, т. е.

Для оценки знакоопределенности этой матрицы найдем следующие определители :

,

Тогда в соответствии с критерием Сильвестра матрица , если

. (15)

Определение производной по времени вдоль траектории системы. Эта производная играет большую роль при исследовании устойчивости движений динамических систем методом функций Ляпунова. Рассмотрим некоторую функцию , определенную на переменных состояниях  системы (4). Найдем её производную по времени  вдоль траекторий этой системы. По общему правилу дифференцирования сложной функции находим

. (16)

Однако в силу уравнения (4) . Поэтому производная по времени от функции V(x) вдоль траектории системы (4) определяется выражением

. (17)

Пример 2. Пусть , а уравнения системы имеют вид: . Найти производную по времени функции  вдоль траекторий заданной системы.

Решение. По формулам (16), (17) находим

или с учетом заданных уравнений для  и :

.

Как видно, производная  является отрицательно-определенной. Это указывает на то, что функция  монотонно затухает, уменьшаясь по величине при . Так как  может уменьшаться лишь при уменьшении , то норма решения рассматриваемой системы, очевидно, стремится к нулю при . Причем это имеет место при любых начальных условиях. Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы является асимптотически устойчивым в целом.

Заметим, что этот вывод сделан без решения дифференциальных уравнений заданной нелинейной системы, и каких-либо других математических операций над ними.

Основу второго метода Ляпунова для исследования движений динамических систем составляют следующие теоремы [2, 20].

Теорема 4 (об асимптотической устойчивости). Если при

всех  существует положительно-определенная функция  такая, что её производная по времени вдоль траекторий системы (4) является отрицательно-определенной функцией, то положение равновесия этой системы асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 6 (Барбашина-Красовского). Если при всех  существует бесконечно большая положительно-определенная функция  такая, что ее производная по времени вдоль траекторий системы (4) является отрицательно полуопределенной функцией, но  обращается в нуль на множестве, не содержащем целых траекторий, (кроме положения равновесия) системы (4), то положение равновесия системы (4) асимптотически устойчиво в целом.

  Положительно-определенная функция , удовлетворяющая какой-либо теореме об устойчивости или неустойчивости по отношению к некоторой системе, называется функцией Ляпунова данной системы. Отметим также, что если функция Ляпунова удовлетворяет условиям некоторой теоремы об устойчивости не во всем пространстве, а лишь в некоторой области, включающей положение равновесия, то эта область является областью притяжения соответствующего положения равновесия.

Приведем примеры исследования устойчивости движений нелинейных систем методом функций Ляпунова.

. Исследование систем методом функций Ляпунова

Пример 3. Исследовать устойчивость положения равновесия  системы

,

.

Решение. Возьмем функцию . Ее производная вдоль траекторий рассматриваемой системы, согласно (16), (17), определяется выражением

Или

.

Полученная функция является определенно-отрицательной при всех . Следовательно, функция  является функцией Ляпунова для рассматриваемой системы. Причем она удовлетворяет условиям теоремы 1 при всех , . Поэтому положение равновесия  рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом.

Пример 4. Исследовать методом функций Ляпунова устойчивость линейной системы, уравнение свободного движения которой имеет вид

. (18)

В данном случае можно говорить об устойчивости системы, поскольку она всегда имеет единственное положение равновесия, которое в отклонениях соответствует точке .

Решение. В данном случае функция Ляпунова ищется обычно в виде квадратичной формы

,

где - симметрическая матрица.

Если матрица  удовлетворяет условию (15) критерия Сильвестра, то . Найдем ее производную по времени на траекториях системы (18):

.

В соответствии с выражением (16) и уравнением (18) находим , поэтому

, (19)

где - симметрическая, причем положительно-определенная матрица, т.е. .

Из выражения (19) вытекает следующее равенство:

. (20)

Это выражение называется матричным уравнением Ляпунова. В нём  и  - симметрические матрицы, причем  также положительно-определенная матрица.

При исследовании устойчивости линейных систем в уравнении Ляпунова обычно задаются матрицей , а матрицу  находят как решение этого уравнения.

Ляпунов доказал следующее утверждение.

Теорема 7. Если решение уравнения (20) - матрица  является положительно-определенной, то линейная система (18) асимптотически устойчива в целом. Справедливо и обратное утверждение. Если же матрица Р окажется отрицательно-определенной, то система (18) будет неустойчивой.

Отметим, что математическое обеспечение современных ЦВМ имеет специальные программы для решения уравнения Ляпунова. Например, в системе MATLAB это программа "Lyap".

Уравнение Ляпунова (20) часто применяется для исследования устойчивости и построения области притяжения (рис. 5) положения равновесия  нелинейных систем вида

, (21)

где А - устойчивая матрица, - нелинейная вектор функция, причём . Если , то ее производная вдоль траекторий системы (21) определяется выражением

. (22)