Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.

1.10.Эффект Доплера. Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью v, испустил фотон под углом к первонача-

льному направлению движения атома. Найти с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение частоты фотона, обусловленной отдачей атома.

Р е ш е н и е. Пусть «закрепленный» неподвижный атом при пе-

реходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией h . Разность энергий указанных состояний атома равна h вне зависимости от того, покоится атом или движется.

При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Изменяется и кинетическая энергия атома.

Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис. 1.21),

где E* — энергия возбуждения атома, E* h , а pф h /c. Исключив из этих двух уравнений p 2, получим:

Учитывая, что энергия фотона h I 2mc2 и перед скобкой можно заменить на (их разность весьма мала), приходим к следующему результату:

v cos ,

c

где – . Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера.

где q и q0 — заряды налетающей частицы и ядра, b — прицельный параметр, т. е. расстояние от ядра до первоначального направления движения налетающей частицы, когда она находится вдали от ядра (см. рис. 2.1), K — кинетическая энергия частицы вдали от ядра.

Из формулы (2.1) видно, что чем меньше прицельный параметр b, тем больше угол отклонения .

Вывод формулы (2.1) приведен в Приложении.

Формула Резерфорда. Непосредственная проверка формулы (2.1) экспериментально невозможна, поскольку мы не можем измерить прицельный параметр b налетающей частицы. Однако, следуя Резерфорду, мы можем положить формулу (2.1) в основу для следующих расчетов.

Рассмотрим тонкий слой рассеивающего вещества, настолько тонкий (фольга), чтобы каждая налетающая частица пучка претерпевала лишь однократное отклонение. Для отклонения в интервале углов ( , d ) прицельный параметр должен быть заключен в интервале (b, b db). При этом значения d и db будут связаны определенным соотношением. Чтобы найти его, перепишем сначала (2.1) в виде

а затем возьмем дифференциал от этого выражения

Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что знаки db и d взаимно противоположны. В дальнейшем существенным будет лишь модуль величин db и d , поэтому знак минус в (2.3) мы не будем учитывать.

Пусть площадь поперечного сечения узкого пучка налетающих частиц равна S. Тогда число ядер рассеивающего тон-

38 Глава 2

кого слоя будет равно nS, где п — число ядер (атомов) в расчете на единицу поверхности. При этом относительное число частиц, имеющих прицельный параметр b в интервале (b, b + db) и, значит, рассеянных в

где dS — суммарная площадь колец в сечении S пучка, dN —

Подставив в (2.4) выражения для b и db из (2.2) и (2.3), по-

Умножим числитель и знаменатель правой части этого ра-

где выражение 2 sin d — это телесный угол d , в пределах которого заключены углы рассеяния ( , d ). Поэтому (2.6) можно переписать так:

Это и есть формула Резерфорда. Она определяет относительное число частиц, рассеянных в телесном угле d под углом к первоначальному направлению их движения. Напомним, что в этой формуле n — число ядер на единицу поверхности рассеивающего слоя (фольги).

Если нас интересует относительное число N/N частиц, рассеянных в конечном интервале углов от 1 до 2, то выражение (2.7) надо проинтегрировать, учитывая, что d2 sin d . При этом следует иметь в виду, что для малых углов рассеяния (приблизительно меньших 3!) формула Резерфорда не применима. Это связано с тем, что очень малым углам соответствуют большие значения прицельного параметра, выходящие за пределы атома, где сила уже не имеет кулоновского характера.

Заметим, что вопрос о нахождении относительного числа частиц, рассеянных в конечном интервале углов , может быть решен значительно проще (без интегрирования). Как именно, показано в нижеследующем примере.

Эффективное сечение. Формулу Резерфорда (2.7) можно представить в несколько ином виде, если ввести понятие дифференциального сечения d#, равного площади кольца радиусом b и шириной db (см. рис. 2.2). Имея прицельные параметры в интервале (b, b db), налетающие частицы отклоняются ядрами согласно (2.1) на углы в интервале ( , d ). Поскольку

формулу (2.7) можно представить так:

Таким образом, формула (2.9) означает, что относительное число частиц, рассеянных в интервале углов ( , d ), равно произведению количества ядер на единицу поверхности фольги (n) на соответствующее дифференциальное сечение (2.10).