Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

110	Глава 4

откуда Е 7h2/m.

Учитывая (2), находим из (1), что

U(x) 272 2 x2. m

4.10.Прохождение частицы через порог. Частица массы т движется

слева направо в потенциальном поле (рис. 4.15), которое в точке x 0 испытывает скачок U0. При х < 0

энергия частицы равна Е. Найти коэффи-

циент отражения R, если Е I U0.

Р е ш е н и е. Здесь следует повторить рас-

суждения, приведенные в § 4.5 для случая

1. Отличие заключается лишь в том, что в

Рис. 4.15

выражении для k2 (4.28) должно, как вид-

но из рис. 4.15, стоять не Е – U0, а Е U0.

Таким образом, искомый коэффициент с учетом того, что k1 I k2, можно записать так:

% 1 4

4 E/U0

% 1

(здесь мы пренебрегли величиной k1/k2 в квадрате).

Отсюда следует (чисто квантовый эффект), что чем меньше Е, тем ближе R к единице. С классической точки зрения это в принципе невозможно.

Глава 5

Основы квантовой теории

§5.1. Операторы физических величин

Впредыдущей главе было показано, что состояние кванто-

вой частицы определяется не координатами и импульсом, а зада- нием /-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля. Кроме того, как выяснилось, /-функция, описыва-

ющая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия,

момент импульса и др.

Таким образом, /-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все ее динамические характеристи-

ки. Надо только знать рецепты, с помощью которых можно «извлечь» интересующую нас информацию из /-функции. К

решению этой задачи мы и приступаем.

Средние значения физических величин. Понятие среднего значения различных физических величин является весьма важным в квантовой теории. Рассмотрим этот вопрос на конкретном примере — определим среднее значение координаты x частицы, если известна ее /-функция, которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты х.

Мы уже знаем, что |/(x)|2 или /(x) *(x) является плотностью вероятности найти частицу в окрестности координаты х. Тогда вероятность местонахождения частицы в интервале (х, х + dх) есть dР = //*dx, и среднее значение х определяется как

pxq x//* dx,

(5.1)

где интегрирование проводится по интересующей нас области. При этом предполагается, что /-функция является нормированной в (5.1). т. е. удовлетворяет условию (4.3):

// 0 dx 1.

112	Глава 5

И вообще, среднее значение любой функции координат f(x) определяется формулой, аналогичной (5.1), т. е.

pf(x)q f(x)//* dx.

(5.2)

Значительно сложнее задача о нахождении среднего значения проекции импульса рx частицы, состояние которой задается определенной пси-функцией /(х). Весьма громоздкий расчет (выходящий за рамки данной книги) приводит к следующему результату:

ppx /* i q

dx . (5.3)

Для единообразия перепишем выражения (5.1) – (5.3) в такой форме:

pхq /* x/ dx.
pf(x)q /* f(x)/ dx.				(5.4)

ppxq /*	i		/ dx.

		x

Запись средних значений этих величин именно в такой форме поможет нам в следующем параграфе сделать важный шаг в развитии адекватного математического формализма, выражающего специфические свойства микрочастиц.

Операторы. Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на x или на какую-либо функцию f(x), дифференцирование по х, т. е. / х, 2/ х2 и т. д. Операторы принято


обозначать буквами со «шляпкой», например Q, и его действие
на некоторую функцию
	f(x) записывают как Qf(x).

Некоторые свойства операторов. Операторы можно складывать:


A B. Действие такого суммарного оператора на любую функцию f(x)

дает результат Af(x) Bf(x).
		понимают оператор, результат
Под произведением операторов AB		понимают оператор, результат

действия которого на любую функцию f(x) равен A(Bf(x)). Т. е. функ-

ция f(х) сначала подвергается действию оператора B, а затем получен-
ный результат — действию оператора
ный результат — действию оператора		A.

Основы квантовой теории		113


Следует иметь в виду, что не всегда AB BA. Если такое равенство
		коммутируют друг с
соблюдается, то говорят, что операторы A и B		коммутируют друг с

другом (коммутирующие операторы). В противном случае операторы некоммутирующие. Пример некоммутирующих операторов — это x и/ x. В самом деле,

( xf ) 1

x f

Следовательно,

x x − x x.

Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Отличие лишь в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок операторов-сомножителей: это зависит от того, коммутируют они или нет.


Оператор A называют линейным, если для любых двух функций f1
и f2 и любых постоянных 1 и 2 выполняется соотношение

A ( 1f1	+ 2f2) 1 A f1	+ 2 A f2 .

Именно с линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

§ 5.2. Основные постулаты квантовой теории

Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины Q находится по формуле

8Q /	0		(5.5)
		Q/ dx,

где — оператор физической величины .

Q Q

Сопоставив (5.5) с (5.4), приходим к выводу, что оператора-

ми величин х и px являются


	x x,			px	–i	x	.	(5.6)
Аналогично для операторов						x

		y,	z,	p y	, p z .
	являются основными в квантовой теории.
Операторы x и px	являются основными в квантовой теории.

114	Глава 5

Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково:

формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

Так, например, связь между квадратом импульса и квадратами его проекций в классической механике дается формулой

p2 px2 py2 pz2 .

Поэтому оператор квадрата импульса

																			2							2						2
																			2													2
																															.
p2 =	p	2		p	2	p	2 =				i											i							i		.
		x			y		z
															x										y					z
В результате получим
							2							2							2
		p	2 2					2								2						2					2	. 2 ,					(5.7)
								2					y			2					z	2
						x							y								z
где оператор . 2				— это лапласиан, т. е. выражение в круглых
скобках.
Аналогично находим оператор кинетической энергии:
	1						2			2								2						2					2
K				p2								2								2					2					. 2			(5.8)
	2m					2m			x			2					y			2			z		2			2m
	2m					2m			x								y						z					2m

и оператор полной энергии частицы — гамильтониан (его об-


означают H):

	H K U	2				2	U.
	H K U	.					U.
								(5.9)
		2m						(5.9)
		2m
			2	,
Зная выражения операторов p				,	K	и H, можно найти сред-

ние значения pp2q, pKq и pЕq по формуле (5.5), если известна /-функция частицы.

Пример. Найдем среднее значение кинетической анергии pКq частицы

в состоянии /(x) 1 eikx , k p/h. Функция /(x) нормирова-

на в интервале –l < х < l, вне этого интервала /(х) 0.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11