Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Это означает равновероятность местонахождения такой частицы во всех точках пространства (оси X). Данный вывод вполне согласуется с соотношением неопределенностей: при px 0 x , т. е. частица «размазана» равномерно по всему пространству.

4.2.Частица в прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < l). Найти вероятность местонахождения частицы в интервале (l/3, 2l/3).

Р е ш е н и е. Согласно (4.15) /-функция в основном состоянии (n 1) это / 2/l sin( x/l). Искомая вероятность

где введена новая переменная у x/l.

4.3.Найти энергию E стационарного состояния частицы массы m в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсо-

лютно непроницаемыми стенками, если на границе ямы (х 0) известно значение производной // x, т. е. / (0).

Р е ш е н и е. Известно, что /-функция n-го стационарного состояния определяется формулой (4.15). Взяв ее производную по х и положив затем х 0, получим:

Отсюда находим

l3 / 2

n 2 / (0).

Подставив это выражение в формулу (4.14) для энергии, имеем

El 2 [ / ( 0)]2 . 4m

4.4.Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l и такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность этих уровней dN/dE, т. е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от Е. Вычислить dN/dE, если

Е1,0 эВ и l 1,0 см.

4.7.Частица массы m находится в двумерной квадратной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона ямы равна l. Воспользовавшись результатами решения предыдущей задачи, найти значения энергии Е для первых четырех уровней.

Р е ш е н и е. В данном случае

Задача сводится к подбору таких наименьших значений n1 и n2,

Отсюда видно, что энергия Е первых четырех уровней

Е2, 5, 8 и 10 единиц 2h2/2ml2.

4.8.Воспользовавшись условием и решением задачи 4.6, найти число dN состояний частицы в интервале энергии (E, E dE), полагая, что энергетические уровни расположены весьма густо.

Ре ш е н и е. Каждому значению пары чисел n1 и n2 отвечает одно состояние частицы. Число состояний в интервале (dn1, dn2) вблизи значений n1 и n2 равно

dN dn1 dn2 .

Имея в виду уравнение k12 k22 k2, где k1 n1 /a, k2 n2 /b, отложим на осях координат величины k1 и k2. Построим затем в этом «k-пространстве» окружность радиуса k с центром в начале координат. Точки, попадающие на эту окружность, соответствуют одному и тому же значению k, а значит одной и той же энергии Е. Нaс будет интересовать только 1/4 окружности, поскольку следует рассматривать лишь положительные значения k1 и k2: отрица-

4.9.Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U(x) в стационарном состоянии / A exp(–7x2), где А и 7 — постоянные (7 > 0). Найти энергию Е частицы и вид функции U(x), если U(0) 0.

Р е ш е н и е. Сначала найдем вторую производную / (х) по х:

/–2A x exp(–7x2),

/–2A[exp(–7x2) x exp(–7x2)(–27x)] –2A (1 – 27x2) exp(–7x2).

Теперь подставим / и / в уравнение Шредингера:

/ 2m (E – U) / 0.

2

После сокращения на экспоненту получим:

Полагая в этом равенстве x 0 и соответственно U(0) 0, имеем