Материал: Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Ангармоничность (отклонение от гармоничности), наступающая при увеличении интенсивности колебаний, приводит к тому, что с увеличением квантового числа v энергетические уровни сгущаются, и в формулу (4.23) необходимо вводить поправку на ангармоничность.

§ 4.5. Потенциальные барьеры

Сначала рассмотрим простейший случай — прямоугольный потенциальный барьер, когда потенциальная энергия U зависит только от одной координаты x, причем при x 0 претерпевает скачок (рис. 4.11). У такого барьера

Пусть слева на границу барьера налетает с

полной энергией E частица или поток час-

тиц. На языке квантовой теории это означа-

ет, что на барьер слева «падает» дебройлев-

ская волна

Рис. 4.11

Чтобы удовлетворить граничным условиям для , и ,/ x при x 0, должны существовать как прошедшая волна, так и отраженная. В этих трех волнах частота одна и та же ( E/h), поэтому в дальнейших расчетах мы можем ограничиться только координатной частью этих волн, а именно /(x).

Наша задача: сначала найти амплитуды отраженной и падающей волн, а затем — коэффициенты отражения R и пропускания D для такого барьера. Исходим из уравнения Шредингера (4.9). В нашем случае оно имеет вид

Здесь возможны два случая (см. рис. 4.11): E > U0 и E < U0.

1. В случае E > U0 общее решение уравнения (4.27) имеет вид:

Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой a1, причем вещественной, а отраженная — амплитудой b1. В области x > 0 имеется только проходящая волна, поэтому b2 0. Из условия непрерывности / и /x в точке x 0 следует, что

Из совместного решения этих двух уравнений находим, что отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде a1 падающей волны равны:

Для определения интересующих нас коэффициентов R и D

введем понятие плотности потока вероятности P. Скорость распространения вероятности такого потока просто совпадает с классической скоростью v частицы, и мы можем написать v p/m hk/m, поскольку согласно (3.1) p hk. Таким образом,

v T k,

и плотность потока вероятности пропорциональна величине k *:

PT k *.

Всоответствии с видом ,-функции (4.26) для падающей, отраженной и прошедшей волн мы имеем

P T k1a12 , P T k1b12 , P T k2 a22 .

Теперь можно записать выражения для коэффициентов отражения R и пропускания D:

Отсюда следует, что R + D 1, что и должно быть по определению. Кроме того, видно, что значения R и D не зависят от на-

правления движения частицы: слева направо на рис. 4.11 или наоборот.

Заметим, что в классическом случае R 0 при E > U0. 2. В случае Е < U0 формулы (4.30) остаются справедливыми.

Однако k2 будет чисто мнимым согласно (4.28). При этом выражение (4.31) для коэффициента отражения следует записать так:

Здесь числитель и знаменатель — величины комплексно-сопря- женные. Значит R 1, т. е. отражение частиц будет полным. Но /-функция при х > 0 не обращается в нуль. В самом деле, полагая k2 ik, где k 2m(U0 E)/ , получим, что /2 T e–kx и плотность вероятности местоположения частицы

Видно, что с увеличением глубины проникновения x плотность вероятности Р(х) убывает экспоненциально. Это убывание происходит тем быстрее, чем больше разность (U0 – E). Обычно глубину проникновения определяют как расстояние l, на котором Р(х) убывает в е раз. При этом в (4.33) 2kl 1 и

Можно убедиться, что для электрона при U0 – E % 10–3 эВ глубина проникновения l % 10–7 см.

Таким образом /-функция проникает в область х > 0, несмотря на то, что падающая волна отражается полностью.

В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной, чего быть не может. Но мы уже знаем, что разделение полной энергии E на кинетическую и потенциальную не совместимо с соотношением неопределенностей (3.20), см. также стр. 95.

Туннельный эффект. Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить под барьер приводит к так называемому туннельному эффекту. Он заключается в следующем. Если частица с энергией E налетает на некоторый потен-

Это приближенное равенство, оно тем точнее, чем меньше (U – E) по сравнению с Е.

физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

Задачи

4.1.Свободное движение частицы. Найти решение временного уравнения Шредингера (4.5) для свободной частицы массы m, движущейся с импульсом p в положительном направлении оси X.

Р е ш е н и е. В этом случае потенциальную энергию частицы можно считать равной нулю U(x) 0, и уравнение (4.5) примет вид

Его решение будем искать методом разделения переменных, т. е. представим , в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, другая — только от t:

как обе части этого уравнения являются функциями независимых переменных t и х, то равенство (3) возможно лишь в том случае, если обе его части равны одной и той же константе. Из сравнения выражения (3) с уравнением Шредингера (4.9) видно, что эта константа равна E. Таким образом мы получаем два уравнения:

Их решения, как можно в этом убедиться непосредственной подстановкой, таковы:

где значения k и записаны в соответствии c постулатами корпу- скулярно-волнового дуализма.

В результате искомое решение согласно (2) будет иметь вид ,(x, t) A ei(kx – t).

Это решение будет конечным лишь при Е > 0, причем при любых значениях Е.

Именно такой вид имеет дебройлевская волна.

Плотность вероятности местоположения соответствующей частицы P(x) ,,* AA* const.