Гироскоп и гравитация
Гужеля Ю.А.
«Все эти явления не содержат ничего большего,
чем комбинации законов Ньютона, однако, временами
просто трудно поверить, что всё это произошло из !»
Ричард Фейнман
Аннотация
В данной статье выведены новые формулы, связывающие действующий момент сил и скорость прецессии гироскопа (формулы эти характеризуют 2-ое основное свойство гироскопа).
Показано, что экспериментальное обоснование 1-го основного свойства гироскопа является не достаточным и пока не позволяет сделать выбор между Мировой системой отсчёта и привилегированными системами отсчёта, связанными с Солнцем и Луной.
Обращено внимание на то, что теория гирокомпаса - этого важнейшего, с практической точки зрения, гироскопического прибора нуждается в существенных поправках.
Предложены эксперименты с гирокомпасом, позволяющие уточнить физическую сущность 1-го основного свойства гироскопа и рассчитать анизотропный коэффициент для новой полуэмпирической формулы, характеризующей 2-е основное свойство гироскопа.
Сделан вывод о том, что дальнейшее развитие теории гироскопа и, в частности, развитие теории нутационных процессов, - невозможно без дальнейшего развития фундаментальной науки - механики.
Введение
Спустя столетие, после демонстрации Леоном Фуко первых опытов с гироскопом, Ричард Фейнман, приступая в своих лекциях к изложению динамики твёрдого тела, не может сдержать своего восхищения перед удивительными свойствами гироскопа, см. эпиграф. И эти чувства с Фейнманом, безусловно, разделяют многие. Замечательно здесь также и то, что удивительное поведение гироскопа описывается всего двумя его основными свойствами:
Первое свойство гироскопа говорит о том, что гироскоп стремится сохранить своё положение относительно Мирового пространства. Это утверждение сделано на основании опытных наблюдений за поведением свободного гироскопа. Однако погрешность этих опытов до сих пор не определена. Первое свойство гироскопа, по умолчанию, считается абсолютно точным. И, похоже, никто не задумывается над тем, какими же средствами Мировое пространство заставляет гироскоп сохранять относительно себя неизменное положение и, в то же время, заставляет гироскоп изменять своё положение (прецессировать) относительно земной поверхности? Ведь, очевидно, что для того чтобы гироскоп прецессировал ему надо сообщить вполне определённую величину энергии.
Второе свойство гироскопа представляет собой формулу, по которой можно определить направление прецессии гироскопа под действием момента сил, приложенного к оси вращения, и можно определить скорость прецессии. Формулу эту действительно можно вывести с помощью законов Ньютона, но не только с их помощью. В векторной форме эту формулу принято записывать в следующем виде:
луна солнце анизотропный гирокомпас
(1)
Где:- момент сил, приложенный к главной оси гироскопа;
J - главный момент инерции (момент инерции относительно оси собственного вращения гироскопа);
- угловая скорость прецессии;
- угловая скорость собственного вращения гироскопа.
Формула эта в учебниках физики выводится без детального рассмотрения физического процесса, происходящего при трёхмерном вращении твёрдого тела.
Попробовав самостоятельно, независимым путём, вывести эту же формулу, я неожиданно получил другой результат, а именно:
; (2)
Где, - момент инерции относительно оси, перпендикулярной оси собственного вращения гироскопа.
Вывод этого соотношения изложен ниже.
1. Второе свойство гироскопа (вывод новой формулы)
Прежде чем переходить к анализу трёхмерного вращения твёрдого тела, уточним смысл соотношения , с учётом выводов сделанных в [1].
Поскольку сила инерции является самой настоящей реальной силой, равной по величине произведению , то правая часть формулы основного закона механики - это выражение силы инерции (силы сопротивления), а левая часть - это действующая (активная) сила.
То есть, при движении тела с ускорением, действующая сила равна силе инерции, направленной противоположно ускорению.
По существу мы вспомнили «Принцип Даламбера», значение которого в настоящее время принижается. Этот принцип принято считать просто математическим приёмом, облегчающим вычисления. Между тем, «Принцип Даламбера» правильно отображает реальный физический процесс и, по сути, является физическим законом, а сила инерции является реальной силой.
Теперь мы можем приступить к анализу поведения гироскопа под действием момента сил М, приложенного к главной оси вращения.
Для упрощения вычислений возьмём самую простую конструкцию 3-х степенного гироскопа, центр масс которого совпадает с центром подвеса. Вся масса этого гироскопа сосредоточена в линии окружности, см. рис.1
Элементы крепления оси к линии окружности на рисунке не показаны.
I, II, III, IV - первая, вторая, третья, четвёртая четверти окружности.
Гироскоп вращается вокруг оси Z со скоростью . Радиус окружности равен R .
К главной оси гироскопа приложен момент сил М, равный произведению силы Р на плечо относительно оси Х , разворачивающий гироскоп вокруг оси Х. Дадим возможность моменту М повернуть гироскоп вокруг оси Х на небольшой угол , с угловой скоростью и посмотрим, что будет дальше.
Выберем в первой четверти окружности три мгновенных положения материальных точек: 1, 2, 3.
Точка 1 находится на пересечении окружности с осью Х. Радиус-вектор, проведённый из центра вращения в точку 2, составляет с осью Х угол . Точка 3 находится на пересечении с осью Y.
Точка 2 за бесконечно малый промежуток времени переместится из положения 2 в положение . При этом, окружную скорость точки относительно главной оси, на отрезке 2-, можно считать направленной по касательной к окружности в точке 2 и, соответственно, перпендикулярной радиус-вектору, проведённому в точку 2. Величина этой скорости равна
Длина отрезка дуги 2-, которую можно считать отрезком касательной, равна произведению скорости на отрезок времени
Одновременно с вращением вокруг главной оси Z , точка 2 вращается и вокруг оси X, с угловой скоростью . При этом, её окружная скорость , при движении из положения 2 в положение , увеличивается за счёт увеличения радиуса вращения r относительно оси X.
Поскольку ; а , то .
Но из рисунка 1 видно, что
И, следовательно:
И тогда, величина ускорения точки в направлении перпендикулярном плоскости окружности найдётся из выражения:
(3)
Нетрудно увидеть, что полученное уравнение справедливо для любой точки окружности, поэтому индекс 2 можно опустить и заменить его индексом i.
(4)
Для точки 1: , , поэтому ; (ускорение имеет максимальное значение).
В точке 3: , , .
Величины: , , - постоянны, поэтому закон изменения ускорения точек окружности относительно оси X представляет собой косинусоиду.
Таким же образом проанализировав перемещение точек принадлежащих другим четвертям окружности, можно сделать вывод, что в 1-й и 4-й четвертях нормальное ускорение точек направлено вниз, а во второй и третьей четвертях - вверх. Соответственно, сила инерции, действующая на каждую материальную точку окружности, в 1-й и 4-й четвертях направлена вверх, а во 2-й и 3-й четвертях - вниз, см. рис. 2
В сумме распределённые силы инерции создадут момент сил равный моменту, создаваемому силами Р, но в перпендикулярной плоскости.
Что приведёт к вращению гироскопа с угловой скоростью вокруг оси Y , см. рис. 3
При вращении плоскости гироскопа вокруг оси Y , выберем на окружности три мгновенных положения материальных точек 1, 2, 3, но, на этот раз, во второй четверти.
По аналогии с разобранным выше примером, для точки 2 и для любой произвольной точки i можно записать:
(5)
(6)
На каждую материальную точку окружности, со стороны гравитационного поля будет действовать сила инерции направленная противоположно ускорению и равная по величине произведению массы точечного элемента на его ускорение
Из рисунка 3 видно, что нормальное ускорение в 1-й и 2-й четвертях направлено вниз, а 3-й и 4-й четвертях - вверх.
Соответственно сила инерции в 1-й и 2-й четвертях направлена вверх, см. рис.4., а 3-й и 4-й четвертях - вниз.
Распределённые силы инерции, приложенные к каждой материальной точке окружности, в сумме создают момент инерции равный по величине действующему моменту М, и противоположно направленный, см рис. 4
(7)
Определим величину , проинтегрировав все распределённые по массе окружности моменты сил инерции.
Для удобства вычислений, проинтегрируем моменты сил инерции только для первой четверти окружности, при изменении от 0 до
Момент создаваемый силой инерции приложенной к точечной массе равен произведению: , а момент, приложенный к элементу , будет равен:
Поскольку масса по дуге окружности распределена равномерно, заменим точечную массу , распределённой массой
Где, - масса дуги окружности 1-й четверти.
Подставляя значения и , запишем:
Где, - момент сил инерции первой четверти окружности
Вынося постоянные величины за знак интеграла, получим:
, или
Возьмём интеграл:= .
После подстановки полученного значения в выражение момента, получим:
Но - это момент инерции 1-й четверти окружности относительно оси Z, то есть, главный момент инерции 1-й четверти, поэтому:
Очевидно, что для всей окружности выражение для определения момента сил инерции запишется так:
(8)
Где, J - главный момент инерции всей окружности (момент инерции относительно оси собственного вращения гироскопа);
- момент сил инерции действующий на всю окружность.
Обратим внимание на то, что выражение 0,5J - это не что иное, как момент инерции окружности относительно оси Y, то есть, момент инерции относительно оси, перпендикулярной оси собственного вращения гироскопа.
Поскольку , окончательно запишем:
(9)
Где, - момент сил относительно оси X;
- момент инерции относительно оси, перпендикулярной оси собственного вращения гироскопа.
В векторной форме выражение (9) запишется так:
(2)
Где,, , - векторы; - скалярная величина.
Как видно, полученное соотношение между приложенным моментом сил и скоростью прецессии не соответствует общепринятому соотношению, выведенному ещё Анри Резалем:
(1)
Где, J - главный момент инерции относительно оси собственного вращения гироскопа.
И следует признать, что общепринятое (до сих пор) соотношение неверно.
Каким образом эта ошибка стала возможной? Очевидно, из-за недостаточно подробного рассмотрения физического процесса при трёхмерном вращении твёрдого тела и преувеличения возможностей общих математических подходов.
Из вышесказанного можно заключить, что прецессия гироскопа является следствием действия на ось гироскопа силы (момента сил). Отсюда следует, что если на гироскоп не действует сила, то он должен сохранять своё положение. Но относительно чего? Ну, конечно же, относительно гравитационного поля, ведь именно от поворота оси гироскопа относительно поля и возникают силы инерции, вызывающие прецессию. Однако сложность состоит в том, что для оценки поведения гироскопа вблизи поверхности Земли необходимо учитывать взаимодействие с гравитационными полями, по крайней мере, трёх небесных тел: Земли, Луны и Солнца.
Гравитационное поле Земли, в близи её поверхности, безусловно, самое сильное. И, поскольку оно перемещается и вращается в пространстве вместе с Землёй, то следовало бы ожидать, что свободный 3-х степенной гироскоп не должен изменять своё положение относительно Земли, то есть, не должен чувствовать вращение Земли (не должен прецессировать). Но все мы знаем (и знаем на основании опытов), что это не так.
2. Первое основное свойство гироскопа (новая формулировка)
Опыты показывают, что свободный (разарретированный) гироскоп изменяет своё положение относительно земной поверхности (прецессирует). Считается, что при этом гироскоп сохраняет своё положение относительно Мирового пространства (относительно далёких «неподвижных» звёзд). Но это заблуждение. Мировое пространство не обладает своим характерным и постоянным гравитационным полем. Гравитационное поле в любой точке Мирового пространства (и в любой точке Солнечной системы) складывается из гравитационных полей небесных тел. Если гироскоп находится вблизи поверхности Земли, то гравитационное поле складывается, прежде всего, из гравитационных полей Земли, Луны и Солнца. Эти небесные тела постоянно меняют своё относительное расположение - следовательно, постоянно меняется и суммарное гравитационное поле, действующее на гироскоп. Эти изменения (возмущения) возникают в гравитационном поле Земли вследствие вращения Земли относительно, возмущающих её поле, небесных тел, то есть, относительно Луны и Солнца. Логично предположить, что прецессия свободного гироскопа вызывается возмущениями этих реальных небесных тел, а не вымышленной Мировой системой отсчёта.
Сложность восприятия этой версии заключается в том, что гравитационные поля Солнца и Луны у поверхности Земли очень слабы, в сравнении с гравитационным полем Земли. Например, напряжённость гравитационного поля Солнца у поверхности Земли в 1663 раза меньше напряжённости земного поля, а напряжённость лунного поля в 292000 раз меньше земного. И, поэтому, не сразу удаётся понять: за счёт чего слабые поля Луны и Солнца заставляют гироскоп прецессировать относительно сильного гравитационного поля Земли? Но это парадоксальное поведение гироскопа можно объяснить различной структурой гравитационных полей Луны, Солнца и Земли, у её поверхности.