Материал: ГИДРАВЛИаЧАСТЬ 1

Вихревая линия – линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. В этом случае , из этого следует уравнение вихревой линии

(2.14)

Трубка тока, элементарная струйка. Поверхность, образованная линиями тока, проведенными через точки произвольного контура, называется трубкой тока.

Трубка тока бесконечно малого сечения, заполненная линиями тока, называется элементарной струйкой.

Сечение, нормальное к линиям тока, называется «живым» сечением. Скорость по сечению элементарной струйки ввиду малости ее живого сечения постоянна и равна локальной скорости.

Расход жидкости через сечение элементарной струйки может быть определен следующим образом. За время через живое сечение элементарной струйки (рис. 2.5) проходит объем жидкости . Так как , то . Величина элементарного объемного расхода определяется в виде и, следовательно,

(2.15)

Тогда объемный расход жидкости через живое сечение потока, состоящего из бесконечно большого множества элементарных струек,

(2.16)

Рис. 2.5. Элементарная струйка жидкости

Модель, согласно которой поток представляется в виде системы бесконечно большого количества элементарных струек, называется струйной моделью потока. При этом постулируется, что боковая поверхность каждой струйки является непроницаемой для среды, движущейся в соседних с ней струйках.

Средняя скорость потока

где – массовый расход, кг/с; он связан с объемным расходом следующим образом:

Для среды с изменяющейся плотностью

(2.17)

для несжимаемой жидкости и

(2.17а)

Равенства (2.17) и (2.17а) называют законом сплошности или законом постоянства расхода для потока. В них индексы 1 и 2 соответствуют двум произвольно выбранным по длине потока живым сечениям. Аналогичным образом можно записать закон постоянства расхода для любого числа выбранных живых сечений.

Поверхность, образованная вихревыми линиями, называется вихpевой трубкой (рис. 2.6). Для вихревой трубки справедливо равенство Из этого равенства следует, что сечение вихревой трубки не может быть равным нулю, так как не может равняться бесконечности.

Циркуляция скорости. Циркуляцией скорости Г по контуру на участке AB (рис. 2.7) называется криволинейный интеграл

Циркуляция по замкнутому контуру

(2.18)

Рис. 2.6. Вихревая трубка тока Рис. 2.7. Схема к определению

циркуляции скорости по контуру

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключаются различия в задании движения элемента жидкости по Лагранжу и Эйлеру?

2. Запишите уравнения ускорения движения жидкости в векторной форме и в проекциях на координатные оси. Дайте физическое толкование слагаемых этих уравнений.

3. Дайте определения линии тока и траектории движения. Когда они совпадают?

4. Выразите среднюю скорость через локальную.

2.2. Основные уравнения движения жидкости

2.2.1. Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Уравнение неразрывности (сплошности) потока выражает закон сохранения массы для движущейся сплошной среды. Выделим в пространстве произвольный объем жидкости c поверхностью , через который проходит поток жидкости (рис. 2.8.)

Масса жидкости в объеме Изменение массы во времени в объеме связано с изменением плотности, т. е.

(2.19)

Рис. 2.8. Схема к выводу уравнения

неразрывности потока

С другой стороны, это изменение возможно только за счет притока жидкости через площадь поверхности

(2.20)

Значения массового расхода в уравнениях (2.19) и (2.20) равны, поэтому

(2.21)

Преобразуя поверхностный интеграл в объемный по формуле Остроградского–Гаусса, получим

(2.22)

Подставив уравнение (2.22) в выражение (2.21), запишем

Поскольку объем произволен и пределы интегрирования не ог-раничены, можно приравнять к нулю подынтегральную функцию. В результате получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме

(2.23)

Равенство нулю суммы слагаемых в уравнении (2.23) означает, что масса движущейся среды остается постоянной, т. е. отсутствует приток или отток жидкости. Однако в некоторых случаях такое условие не соблюдается. Примером тому могут служить потоки, в которых происходят химические реакции с образованием новых веществ, изменяется фазовое состояние (образование паровых или газовых пузырьков, кристаллов и т. п.). Такие течения называются течениями с переменной массой и рассматриваются в специальных курсах гидроаэромеханики.

Для несжимаемой жидкости , , уравнение (2.23) примет вид

, (2.24)

или в проекциях на координатные оси

(2.25)

Уравнение (2.25) называется также условием несжимаемости.

2.2.2. Уравнения переноса импульса

Движение жидкости происходит под действием различных сил, которые можно разделить на две группы – внутренние и внешние. Внутренними называются силы взаимодействия между частицами жидкости (молекулами). Внешние силы приложены к жидкости извне. Они делятся на массовые и поверхностные. К массовым силам относятся сила тяжести, инерционные силы; к поверхностным – силы давления и трения.

Так как нами принята модель сплошной текучей среды, то при выводе уравнений движения силы межмолекулярного взаимодействия, которые, в свою очередь, описываются специальными уравнениями, непосредственно не рассматриваются. Влияние этих сил учитывается введением коэффициентов молекулярного переноса, в частности коэффициентов вязкости.

Массовые силы пропорциональны массе жидкости и равны произведению массы на плотность распределения этой силы:

(2.26) где

По существу, плотность распределения массовых сил есть ускорение этих сил.

Через проекции на координатные оси вектор может быть представлен в виде

Поверхностные силы пропорциональны площади поверхности, на которую они действуют. Напряжение сил на площадке с нормалью n определяется равенством

Рассмотрим напряжения, возникающие в элементе жидкости в виде тетраэдра (рис. 2.9).

_z