Научная работа: Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах

Рис. 3. Импульсная реакция оптимального фильтра

Условие оптимальности фильтра обнаружения можно найти и несколько другим путем. Если представить выходной сигнал как сумму полезного сигнала и шума, т.е. y(b)=y_с(b)+y _ш(b), причем

то можно заметить, что сигнал у_с(b) является функцией взаимной корреляции s и h, которая будет максимальной (т.е. и отношение сигнал-шум будет максимальным) при идентичности s и h, при h(a)єs(-a).

Найдем передаточную функцию оптимального фильтра. Для этого преобразуем по Фурье выражение (5). С учетом теоремы запаздывания получим

где S*(jw_a) - функция, комплексно-сопряженная спектру входного сигнала s(a);--w_a - частота; a - параметр, по которому ведется анализ (угол, время и т.д.).

Из (6) следует, что при условии равенства модулей |S*(jw_a)|=|S (j w_a)| имеем

(7)

т.е. амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра при сделанных выше допущениях с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром входного сигнала.

Такой оптимальный фильтр называется согласованным, поскольку его частотная характеристика целиком определяется спектром сигнала, т.е. должна быть согласована с ним. В данном случае принималось, что спектр помехи равномерен в диапазоне частот, занимаемом спектром сигнала.

Найдем выражение для сигнала на выходе оптимального фильтра. Применяя обратное преобразование Фурье к спектру сигнала на выходе фильтра:

и подставляя в полученное уравнение (6), получаем

Учитывая, что S (jw_a)·S*(j w_a)=|S (jw_a)|², а также пренебрегая фазовым сдвигом выходного сигнала, т.е. принимая a=a₀, получаем

В соответствии с равенством Парсеваля интеграл

есть полная энергия сигнала, т.е. пиковое значение выходного сигнала

(8)

В том случае, когда на входе системы имеет место гауссовский шум (помеха) со спектральной плотностью на входе F_ш(w_a)=const=F_ш, то и на выходе оптимального фильтра шум останется гауссовским. Спектр мощности помех на выходе фильтра

Дисперсия шума на выходе

(9)

Тогда с учетом (7) - (9) отношение мощностей сигнал / помеха на выходе оптимального фильтра можно представить в следующем виде:

(10)

Таким образом, максимально достижимое отношение сигнал / помеха зависит только от энергии Q входного сигнала и спектральной плотности мощности F_ш белого шума на входе фильтра.

Выражение (10) было получено для случая F_ш=const, т.е. для шума с равномерной спектральной плотностью в рабочей полосе пропускания. Для шума, спектр которого описывается функцией F_ш(w_a), рассуждая аналогично и применяя неравенство Буняковского-Шварца [24, 30], можно получить более общее выражение для отношения сигнал-помеха (сигнал-шум) в случае оптимального фильтра:

(11)

Частотная характеристика оптимального фильтра в этом случае имеет вид

(12)

где В₀ - некоторая постоянная, аналогичная А₀.

Хотя выражения (10) и (11) получены для идеализированных, оптимальных, систем, их можно использовать и в практике проектирования реальных приборов, так как они позволяют рассчитать предельно достижимые значения отношений сигнал / помеха, а также установить критерий качества реальных приборов по степени их приближения к оптимальным вариантам.

Все приведенные выше рассуждения и выводы действительны не только для одномерных функций, но и для многомерных представлений сигналов и помех, в простейшем случае - двумерных. Например, выражение (12) в двумерной форме можно представить в следующем виде:

.

К сожалению, даже в простейших практических случаях реализация согласованных фильтров, особенно оптических, т.е. в оптическом спектральном и пространственно-частотном диапазонах спектра, затруднена. Поэтому обычным способом фильтрации является согласование полосы пропускания фильтра с полосой частот, занимаемой полезным сигналом, т.е. квазиоптимальная фильтрация. Хорошо известна связь между шириной спектра сигнала в виде одиночного импульса Dw_a и шириной импульса Da_{_}: Dw_aDa_{_}=const. Например, для прямоугольного импульса иногда выбирают полосу Dw_a»8,6/Da_{_}. В этом случае отношение сигнал-помеха уменьшается приблизительно на 18% по сравнению с согласованным фильтром.

При входном сигнале в виде прерывистой последовательности («пачки») импульсов, что часто встречается в ОЭП, частотная характеристика согласованного фильтра заметно усложняется. Она становится гребенчатой, состоящей из ряда полос, соответствующих значениям основных гармоник сигнала. В ряде случаев обычно ограничиваются первой полуволной спектра одиночных импульсов, из которых составлена пачка, т.е. полосой 1/Da_{_}. Требуемое число узкополосных фильтров, т.е. число узких полос в характеристике фильтра, в этом случае равно скважности импульсов N. В ОЭП при фильтрации по оптическому или пространственному спектру, т.е. во входных звеньях прибора, очень трудно, а часто и невозможно создать гребенчатые фильтры. Это объясняется чаще всего большой сложностью технологии изготовления многополосных светофильтров с заданной спектральной характеристикой, невозможностью создать такие пространственно-частотные фильтры при приеме некогерентных оптических сигналов.

Использование лазера в качестве источника излучения при активном методе работы ОЭП позволяет применить к решению рассматриваемой здесь проблемы средства когерентной оптики и методы когерентного приема, разработанные и освоенные в радиолокации. Известны системы обработки оптической информации, использующие когерентное излучение и пространственно-частотные гребенчатые фильтры.

В литературе описаны и другие типы оптимальных фильтров, например, так называемый вероятностно-взвешенный фильтр, который применяется, если на вход поступает известный сигнал, но положение его во входной плоскости (в системе координат на входе) неизвестно. Параметры этого фильтра рассчитывают или подбирают таким образом, чтобы улучшить характеристики обнаружения сигнала. Вероятностно-взвешенный фильтр является оптимальным в случае больших отношений сигнал-помеха.

3. Оптимальная фильтрация при измерении параметров сигнала

сигнал помеха оптический электронный

Очень часто основной задачей, стоящей перед ОЭП, является измерение какого-либо параметра сигнала, приходящего на вход прибора. Например, параметры сигнала могут быть определенным функциональным образом связаны с координатами излучателя. В данном случае точность измерения параметров сигнала будет определять и точность измерения этих координат. Перед ОЭП, предназначенными для таких целей, ставится обычно задача: с максимальной точностью воспроизвести сигнал (по одному или нескольким его параметрам). Поэтому их часто называют системами воспроизведения. Точному воспроизведению мешают те же факторы, которые действуют и при обнаружении сигнала, т.е. различные помехи. Обычно принципиально неустранимыми являются случайные помехи: как внешние, т.е. возникающие вне ОЭП, так и внутренние, источники которых находятся в составе прибора.

Критерием качества систем воспроизведения часто считают среднюю квадратическую погрешность измерения (оценки) воспроизводимого параметра сигнала, например, его временного или пространственного положения, амплитуды и т.д. Системы, которые обеспечивают минимальную среднюю квадратическую погрешность, являются в данном случае оптимальными фильтрами. Критерий минимума средней квадратической погрешности не может служить универсальным критерием качества систем воспроизведения, однако он достаточно прост для анализа и надежен в большинстве практически важных случаев.

Наиболее полно теория оптимальной фильтрации при воспроизведении развита для линейных фильтров. Ниже будет рассмотрен именно такой случай. Попытаемся найти общее выражение для средней квадратической погрешности воспроизведения какого-либо параметра сигнала, а затем установить, при каких условиях эта погрешность становится минимальной, т.е. найдем характеристики оптимального линейного фильтра. Впервые эта задача в общем виде была решена А.Н. Колмогоровым и Н. Винером.

Если на вход прибора с импульсной реакцией h(a) поступает аддитивная смесь сигнала s(a) с помехой n(a), например поток от исследуемого излучателя и поток от случайной гауссовской помехи в виде функций параметра a, то, пользуясь интегралом свертки (см. § 2.1), можно найти выражение для выходного сигнала, соответствующего суммарному входному сигналу х(a)=s(a)+n(a), т.е.

(13)

. (14)

Пусть прибор работает таким образом, что искомое значение параметра a соответствует максимуму функции выходного сигнала. Например, направление на излучатель определяется по максимуму амплитуды выходного сигнала. Вследствие наличия помехи п(a) максимумы функций у(b) и у_c(b) не будут совпадать. Соответствующее построение приведено на рис. 4. В силу случайного характера п(a) это несовпадение Db=b*-b_{_} будет также случайной величиной. Ее дисперсия (квадрат средней квадратической погрешности) для оптимального фильтра воспроизведения должна быть минимальна. Пусть измерение параметров сигнала происходит при большом значении отношения сигнал-помеха. Тогда можно считать, что случайные погрешности Db малы. Условием экстремума у(b) является равенство нулю первой производной функции у(b).

Рис. 4.К выводу (16)

Разлагая в ряд Тейлора первую производную сигнальной функции у_с(b) для области b=b_{_} и пренебрегая членами второго порядка малости, получим

(15)

Поскольку в точке b=--b_{_} производная уў_c=0, то из (15) следует, что

Дисперсия этой случайной величины

(16)

Воспользовавшись правилом Лейбница о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, а также применив правило интегрирования по частям к (13) и (14), представим выражения для yў_ш(b)--и--yІ_c(b) в виде

(17)

(18)

Поскольку при бесконечных значениях аргумента a импульсная реакция h(b-a) и ее производная hў(b-a) равны нулю для физически осуществимых фильтров, выражение (18) примет вид

(19)

Подставив (17) и (19) в (16), получим

(20)

Выражение (20) носит достаточно общий характер. В § 15.3 оно будет использовано при расчете дисперсии погрешности измерения параметров детерминированного сигнала.

Задача определения частотной характеристики оптимального фильтра воспроизведения была решена рядом исследователей методами вариационного исчисления. В общем случае, когда случайные сигнал и помеха (шум) коррелированны, эта характеристика для оптимального (винеровского) фильтра определяется выражением

х(a) и у(a) - смеси сигнала и помех на входе и выходе системы соответственно.

Определив корреляционные функции R_xy и R_x и соответствующие им энергетические спектры W_xy и W_x, можно найти в общем виде функцию H (jw_a).

В том случае, если сигнал и помеха статистически независимы и решается задача простого воспроизведения сигнала,

(21)

где W_c(w_a) и F_ш(w_a) - энергетические спектры сигнала и помехи соответственно, причем их можно определить через корреляционные функции сигнала R_c(Da) и помехи R_ш(Da) из выражений:

Здесь

s(a) и n(a) - сигнал и помеха.

Соответствующая (21) минимальная дисперсия

(22)

Рис. 5. Структурная схема воспроизведения с оптимальным фильтром (ОФ) в случае одновременного действия искажения сигнала и помех

Иногда в качестве оптимальных фильтров воспроизведения используют фильтры с более сложной (по сравнению с (21)) частотной характеристикой. Так, если сигнал s(a) со спектром S(w_a) подвергается искажениям, которые могут быть описаны Фурье-оператором (спектром искажений) вида U_и(w_a), и в системе (рис. 5) имеют место аддитивные шумы со спектром U_ш(w_a), то оптимальный фильтр воспроизведения, выполняющий восстановление искаженного сигнала s_и(a), должен иметь частотную характеристику вида

Первый сомножитель 1/U_и(w_a) соответствует частотной характеристике инверсного фильтра, предназначенного для коррекции искажений сигнала. Второй сомножитель (в фигурных скобках) представляет собой частотную характеристику сглаживающего фильтра Н_с(w_a) с бесконечной задержкой, обеспечивающего выделение скорректированного сигнала на фоне шумов, спектральная плотность мощности которых после инверсного фильтра равна зU_ш(w_a)ъ²/зU_и (w_a)ъ². Из этого выражения следует, что при большом отношении сигнал-шум оптимальный фильтр приближается к инверсному.

4. Спектральная оптическая фильтрация

Спектральная оптическая фильтрация чаще всего состоит в выборе такого рабочего участка оптического спектра, для которого отношение сигнала от наблюдаемого излучателя к сигналу от помех на выходе приемника является наибольшим. Оптимальная спектральная фильтрация возможна только при одновременном учете спектральных характеристик излучателей и приемников, а также оптических сред, расположенных между ними.