Научная работа: Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах

Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах

1. Общие сведения об оптимальных методах приема сигналов при наличии помех

Одной из основных и наиболее сложных проблем оптико-электронного приборостроения является отыскание наилучших способов приема и обработки полезных сигналов при наличии помех. Оптимальность метода приема сигнала оценивается с помощью различных критериев в соответствии с назначением прибора. Например, при решении задачи обнаружения сигнала на фоне помех критерием оптимальности является вероятность обнаружения, тесно связанная с отношением сигнал-помеха (сигнал-шум), а при решении задачи измерения (воспроизведения) какого-либо параметра сигнала таким критерием может служить средняя квадратическая погрешность измерения.

Другие критерии используются, например, при решении задач по распознаванию объектов (сигналов, создаваемых этими объектами), по пространственному или спектральному разрешению различных сигналов и т.д.

Идеализированный прибор, обеспечивающий предельно достижимое значение выбранного или заданного критерия качества приема сигнала, принято называть оптимальным приемником или оптимальным фильтром.

Основная задача теории оптимальных методов приема - нахождение оптимальных способов приема для заданных или выбранных видов сигналов. Другой ее задачей может быть нахождение оптимальных видов сигналов, например при активном методе работы ОЭП.

Примем, что на вход прибора поступает смесь сигнала s(?) и помехи n(a):

которая в простейшем случае (аддитивная помеха) является просто их суммой, т.е.

Возможен также случай неаддитивной помехи, которая воздействует на один или несколько параметров сигнала, вызывая, например, паразитную модуляцию сигнала. Примером такой помехи является изменение сигнала вследствие флуктуаций прозрачности среды распространения.

Сигнал, искаженный аддитивными помехами, можно рассматривать как сигнал со случайными параметрами b₁, b₂, …, b_m, а смесь сигнала и помех в общем виде - как функцию

Помехи, особенно аддитивные, как правило, - случайные функции аргументов a (пространственных координат, времени и т.д.). Часто случайным является и сигнал. Поэтому смесь сигнала и помех необходимо рассматривать как случайную функцию.

Если обозначить сигнал на выходе фильтра через у (a), то задача нахождения оптимального фильтра сводится к определению такой его структуры, при которой сигнал у (a) будет наилучшим с точки зрения принятого критерия.

При использовании статистических методов для нахождения характеристик оптимальных фильтров следует иметь в виду ряд факторов. К числу основных таких факторов можно отнести следующие.

Во-первых, обычно предполагаются априорно известными законы распределения случайных сигналов и помех, что далеко не всегда бывает на практике. Однако это ограничение часто устраняется путем оптимизации системы для наименее благоприятного распределения, т.е. для худших условий работы ОЭП. Другим способом решения этой проблемы является применение самонастраивающихся, адаптивных, приборов и систем, техническая реализация которых достаточно сложна.

Во-вторых. при оптимизации структуры ОЭП предполагается, что характеристики всех сигналов и помех (шумов) не зависят от нее. На практике многие помехи возникают внутри прибора и существенно зависят от его структуры. Это ограничение часто приводит к тому, что синтезируется оптимальным не весь прибор в целом, а лишь отдельные его части, например, система первичной обработки информации.

Статистическое описание смеси сигнала и помех x (a) обычно задается в виде условного распределения вероятности р_s (х) того, что при существовании s принята смесь x. Критерий оптимальности связан с функцией потерь r(s, x) - функцией расхождения s и х, которую часто выбирают на основе инженерных или интуитивных соображений. Усреднение этой функции по р_s (х) дает так называемый средний риск:

(1)

где p(s) - вероятность наличия сигнала s.

Функция r(s, x) определяет вес (относительную значимость) погрешности, т.е. расхождения между s и х. Обычно r(s, x) выбирается такой, что она возрастает по мере увеличения расхождения между s и x.

При несмещенной оценке, т.е. если математическое ожидание случайной величины х совпадает с s, и r(s, x)=(x-s)², легко убедиться, что средний риск r равен дисперсии D погрешности воспроизведения s. Действительно,

Минимизация r, как условие оптимизации системы, может быть реализована на основе различных подходов: Байесова, минимаксного, Неймана-Пирсона и др. [17].

Следует отметить, что сигналы и помехи, приходящие на вход ОЭП, являются многомерными функциями и прежде всего функциями пространственных координат, времени, длины волны. Поэтому аргументы a и соответствующие им частоты w_a в приведенных здесь и ниже выражениях являются многомерными векторами. Многомерными являются и функции этих аргументов. Таким образом, нахождение характеристик оптимальных фильтров в общем виде представляет собой сложную и емкую вычислительную задачу. Например, при использовании двух диапазонов длин волн l, четырех выборок сигнала во времени t и деления анализируемого пространства на девять участков требуется решение 72 линейных алгебраических уравнений, что приводит к необходимости выполнить около 120 тыс. операций умножения и столько же операций сложения. Даже при использовании современной вычислительной техники это может стать непреодолимым препятствием при решении задачи оптимальной фильтрации в реальном масштабе времени.

Решение проблемы лежит прежде всего в представлении функций s, n и других в виде функций с разделяющимися переменными, что позволяет отдельно оптимизировать прибор по переменным l (или n), х и у (или w_x, w_y), t (или w), заметно уменьшать объем операций по обработке сигналов в звеньях ОЭП, а также проводить оптимизацию по этим переменным различными конструктивными приемами, т.е. в различных звеньях прибора.

2. Оптимальная фильтрация при обнаружении сигнала на фоне помех

Рассмотрим в общем виде процедуру обнаружения сигнала на фоне помех (шумов). На первом ее этапе производится обработка полученной смеси сигнала и помех, позволяющая наиболее эффективно выделить полезный сигнал и максимально подавить помеху. На втором этапе по выбранному критерию проводится оценка наличия или отсутствия сигнала в принятой смеси. Простейшим критерием является превышение обработанной (отфильтрованной) смеси сигнала и помехи x_ф некоторого порогового значения х₀. При этом принимается решение о наличии сигнала.

Структурная схема системы, реализующей рассмотренную процедуру, представлена на рис. 1. Помимо внешних помех п к сигналу s могут добавляться и внутренние помехи, т.е. смесь х может включать и шумы приемного устройства. Пороговый уровень может быть задан постоянным или изменяющимся по заранее обусловленной программе либо в соответствии с каким-либо параметром выборки х, например с ее дисперсией. Возможна адаптивная подстройка х₀ в зависимости от s и п (см. штриховую линию на рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема системы обнаружения

Предположим, что на входе ОЭП имеет место аддитивная смесь полезного сигнала s и помехи п:

x = s+n,

причем х, s, п являются одномерными или многомерными функциями таких аргументов, как время, длина волны излучения, координаты в пространстве и т.д. Обозначим через Р_s(х) и Р_п(х) условные априорные вероятности получения смеси при условиях, что в ней присутствует или отсутствует сигнал s соответственно. Очевидно, что

P_s(x)+P_n(x) = 1.

Для безусловных вероятностей наличия р и отсутствия q сигнала также очевидно, что p+q=1.

Простейшая задача обнаружения сводится к тому, что ОЭП должен дать правильный ответ на вопрос: есть ли в угловом поле (поле обзора) искомый излучающий объект или его нет? Эти два случая принято называть правильным обнаружением и правильным необнаружением. Двумя другими, альтернативными первым, случаями являются «ложная тревога», когда полезного сигнала нет, но уровень помех превышает некоторый необходимый для правильного срабатывания ОЭП уровень х₀, и «пропуск сигнала», когда объект находится в угловом поле, но сумма х сигнала s и помех п не превышает х₀.

Если плотности вероятности случайных функций, описывающих смесь сигнала и помех и только помехи, обозначить через р_x и р_п соответственно, то условная вероятность правильного обнаружения определяется как

(2)

а условная вероятность пропуска сигнала

В отсутствие сигнала можно принять ложное решение, оцениваемое условной вероятностью ложной тревоги:

(3)

Условная вероятность правильного необнаружения

Графическая интерпретация этих выражений представлена на рис. 2. Площади кривых p_n и р_x, описывающих законы распределения вероятностей помех и смеси сигнала с помехами и ограниченных с одной стороны выбранным значением порога срабатывания х₀, равны вероятностям F, 1-F, D и 1-D. Величина характеризует математическое ожидание помех, а - математическое ожидание смеси сигнала s с помехами п. Иногда в качестве принимают некоторое среднее значение сигнала, например потока, приходящего на входной зрачок ОЭП.

Рис. 2. Условные плотности вероятности помехи и смеси сигнала с помехой

Очевидно, что чем больше х₀, тем меньше вероятность ложной тревоги F. Однако при этом возрастает вероятность пропуска сигнала 1-D, а кроме того, необходимо обеспечить выполнение более высоких требований к параметрам ОЭП, например увеличить мощность источника сигнала, увеличить площадь входного зрачка, чтобы сместить значение , т.е. и всю кривую вправо по оси х. При больших сигналах уровень срабатывания х₀ выбирают достаточно высоким; при слабых сигналах значение х₀ приближается к . Выбор величины х₀ связан с необходимостью обеспечить требуемое отношение сигнал / помеха, о чем будет сказано ниже.

Зная законы распределения вероятностей р_s(х)»р _х(х) и р_п(х), можно рассчитать отношение правдоподобия L=р_s(х)/р _п(х). Затем можно принять решение о наличии сигнала (срабатывании прибора), которое происходит в том случае, если L превышает некоторое пороговое значение. Например, может быть определено, что отношение L>q/p. Зная вероятности (1-D) и F, можно определить так называемую функцию потерь:

L = K₁(1-D)+ K₂F,

где K₁ и K₂ - коэффициенты, определяющие долю ущерба, который вызывает пропуск сигнала и ложная тревога.

При оценке оптимальности фильтра обнаружения применяют различные критерии (Байеса, Неймана-Пирсона, Котельникова и др.). Например, в соответствии с критерием Котельникова (критерий идеального наблюдателя) оптимальным считается тот фильтр (ОЭП), для которого вероятности пропуска сигнала 1-D и ложной тревоги F минимальны. Оптимальный фильтр по критерию Неймана-Пирсона минимизирует одну из величин 1-D или F при данном значении второй.

Для случая, когда на вход прибора поступает аддитивная смесь х(a) полезного сигнала s(a) и гауссовской (нормальной) помехи n(a), с точностью до несущественных величин отношение правдоподобия приводится к виду

, (4)

где a - параметр, по которому оценивается качество приема (время, пространственная координата и т.п.).

Из (4) следует, что максимальное правдоподобие между переданным s(a) и принятым х(a) сигналами достигается при обеспечении максимума их функции взаимной корреляции, т.е. идеальный приемник должен быть приемником корреляционного типа. Реализация идеального приемника связана с большими трудностями, поэтому на практике обычно используют другие методы приема сигналов при наличии помех.

В том случае, если сигнал s(a) заранее известен и его нужно только обнаружить, можно довольно просто определить частотную характеристику оптимального фильтра. Сравним полученное ранее (см. § 2.1) выражение для сигнала на выходе системы (линейного фильтра) с импульсной характеристикой h(a):

и отношение правдоподобия для оптимальной приемной системы (4).

Очевидно, что для оптимального приема, т.е. для достижения максимальной идентичности этих двух выражений, необходимо обеспечить идентичность функций h(b-a) и s(a). Поскольку аргумент a входит в h и s с разными знаками, нужна идентичность не просто функций h(a) и s(a), но идентичность одной из них, например h(a), зеркальному изображению другой - s(-a), т.е. необходимо, чтобы

(5)

Величина a₀ учитывает возможный (но не обязательный) сдвиг начал отсчета функций s и h и влияет только на фазу выходного сигнала. Для пространственных фильтров, в отличие от временных, часто этот сдвиг можно принять равным нулю, т.е. принять, что выходной и входной сигналы формируются в одной системе координат (a₀=0). Поэтому можно записать

Таким образом, импульсная характеристика оптимальной системы обнаружения с точностью до постоянного множителя А₀ является зеркальным изображением полезного входного сигнала s(a) (рис. 3). Величина A₀ это постоянный, не зависящий от a, коэффициент, который учитывает нормирование функций h и s, а также различие в их размерностях. Например, если импульсная характеристика оптико-электронной системы безразмерна, то А₀ имеет размерность, обратную размерности сигнала s(a). В том случае, если функции s и h, выраженные в абсолютных значениях представляемых ими физических величин, рассматриваются в различных точках системы, например s(a) характеризует пространственное распределение яркости L на входе объектива, а h(a) - распределение освещенности Е в изображении точечного источника, коэффициент А₀ должен учитывать переход от пространства объектов к пространству изображений, т.е. переход от L к Е.