Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

предыдущих букв была буква А, то для k-го места имеем 33 варианта, а если нет, то всего 1 вариант — буква А.

Можно выбрать прямой, но трудный способ подсчета нужных объектов. Например, разбить нужные слова на k типов: содержащих ровно одну букву А, ровно две буквы А и т. д. до содержащих ровно k букв А. Затем попытаться подсчитать число слов каждого типа и после этого сложить полученные результаты. Опишем другой способ. Когда в усло-

вии задачи есть выражение «хотя бы один», часто удобно перейти к дополнению искомого множества вариантов, где таких вариантов нет.

Переход к дополнительному множеству вариантов в этом примере дает компактный ответ почти что сразу. В нашем примере — это всевозможные k-буквенные слова в алфавите, содержащем 32 буквы, кроме бук-

вы А, число которых равно A32k = 32k. Поэтому число k-буквенных слов

равно A33k – A32k = 33k – 32k.

К сожалению, довольно часто ни множество нужных объектов, ни дополнительное к нему множество не обладают простой структурой.

Сейчас у нас уже есть возможность дать более содержательный комментарий парадоксу Берри, рассмотренному в разделе 1.1. Хорошо известно, что некоторые фразы служат определениями натуральных чи-

сел, например: «десять в степени десять в степени десять», «наименьшее простое число, больше миллиона». Заметим, что в русском языке 33 буквы, а предложений, состоящих не более чем из ста букв, конечное число, которое с помощью формулы числа размещений с повторениями

можно оценить как не превосходящее A33100 = 33100. Поскольку натураль-

ных чисел бесконечно много, то среди них должны быть такие, которые нельзя описать (определить) с помощью «фразы, состоящей менее чем из ста букв». Тогда есть и наименьшее такое число. Его можно определить с помощью следующей фразы:

«Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить предложением русского языка, содержащим менее ста букв».

Это предложение содержит 96 букв. Это и есть знаменитый пара-

докс Берри, поскольку предыдущая фраза противоречит самой себе. Не-

смотря на то что, казалось бы, рассуждение из парадокса Берри явно нематематическое, подобного рода конструкции встречались и в теории множеств. В частности, подобная идея лежит в основе знаменитой теоремы Гёделя о неполноте любой достаточно сильной непротиворечивой формальной теории, содержащей арифметику.

107

Замечание. Обратим внимание на то, что в формуле числа размещений с повторениями Ank = nk допустим случай, когда k > n.

Например, число размещений с повторениями четырехбуквенных слов, составленных из алфавита, содержащего всего две буквы А и М,

равно A24 = 24 = 16. Среди этих размещений с повторениями есть, например, слова: АААА, АААМ, АММА, МАМА, МААМ, МААА, ММММ.

Пример. Шестизначный велосипедный номер считается «счастливым», если в нем нет ни одной цифры 8, поскольку «восьмерка» — один из дефектов велосипедного колеса. Посчитаем, каких номеров больше «счастливых» или «несчастливых».

На первый взгляд кажется, что поскольку 8 — это лишь одна цифра из десяти возможных, то счастливых номеров должно быть в несколько раз больше. Счастливый номер — это шестибуквенное слово в «алфа-

вите, содержащем девять цифр», т. е. все цифры, кроме восьмерки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Число таких «слов», по формуле числа размещений

с повторениями, равно A96 = 96 = 531441. Если отбросить слово «000000»,

непригодное в качестве велосипедного номера, то счастливых номеров будет 531440. Всего шестизначных номеров, за вычетом непригодного,

равно A106 – 1 = 1 000 000 – 1 = 999 999. Поэтому несчастливых номеров

999 999 – 531 440 = 468 559, т. е. ненамного меньше, чем счастливых. Любопытно то, что если бы номера были бы семизначными, то то-

гда счастливых номеров было бы меньше, чем несчастливых.

Напомним, что перестановки — частный случай размещений и формула для числа перестановок — частный случай формулы для числа размещений. А как обстоит дело для перестановок и размещений с повторениями? Являются ли перестановки с повторениями частным слу-

чаем размещений с повторениями?

Замечание. Формула для числа перестановок с повторениями не являетсячастным случаем формулыдлячисла размещений с повторениями.

Разберем в чем тут дело. Когда речь идет о повторениях в упорядоченном или неупорядоченном наборе объектов, то возможны две противоположные ситуации:

а) каждый объект должен повторяться в наборе строго заданное число раз;

б) нет никаких ограничений на число повторений объектов, кроме общего их числа в наборе.

108

В этом отличие перестановок с повторениями и размещений с по-

вторениями. Объединяет их другое — это упорядоченные наборы. Отметим, что для неупорядоченных наборов ситуация с фиксированным набором каждого объекта бессодержательна, поскольку в таком слу-

чае это один вариант.

* * *

Мы воспринимаем поэзию не только «поверяя алгеброй», но и всей своей ду-

ховной сущностью. «Надо всегда помнить, что русская поэзия, как и русская музыка, есть самое высшее достижение нашей культуры», — писал Дмитрий Лихачев.

Среди поэтических размеров по количеству стихов, им написанных, лидирует четырехстопный ямб. Этому стихотворному размеру посвящено специальное стихотво-

рение Владислава Ходасевича:

Не ямбом ли четырехстопным, Заветным ямбом, допотопным,

Очем, как не о нем самом —

Облагодатном ямбе том?

Античный метрический стих строился на упорядоченном чередовании долгих и кратких слогов. Напомним, что слог — это «согласная + гласная», либо «гласная + согласная», либо «согласная + гласная + согласная», либо «одна гласная», например, «а + та + ман». Комбинации долгих и кратных слогов назывались стопами и каждая стопа имела свое название. В стихосложении, введенном М. В. Ломоносовым, как и в античном метрическом стихе, каждый стих состоит из повторяющихся однообразных «стоп». Каждая стопа состоит из одного ударного и одного или двух безударных слогов. Порядок слогов в стопе играет существенную роль. Слова могут иметь разное количество слогов, а стопы всегда одинаковы, поэтому стопа не является реальной словесной единицей — это чисто ритмическое понятие. Теперь принято делить стих на сильные слоги, на которых стоят метрические ударения, слышимые при скандировке, и на слабые слоги. Реальные словесные ударения стоят на сильных сло-

гах, но не обязательно на всех, только последний сильный слог всегда ударен.

Названия стоп были по аналогии заимствованы из античного греческого стиха. Если условно обозначить сильный слог знаком « – » , а слабый слог знаком « », то в двусложных размерах стопа с первым ударным слогом называется хореем (графически можно обозначить « – »), а со вторым сильным — ямбом (графическое обозначение « – »). Это определение недостаточно точно, так как довольно часто на месте, где должен стоять сильный слог, оказывается слабый.

Вопрос: Сколько комбинаций ритмических форм с реальными ударениями теоретически возможно в четырехстопном ямбе?

Говоря здесь о реальном ударении, мы имеем в виду не искусственное скандирование стиха, а ударность слога в соответствии с нормальным для русского языка внестиховым произношениям. Заметим, что последний слог в ямбе всегда ударен,

т. е. графически общая схема четырехстопного ямба имеет вид – – – –′, где

знаком « –′ » обозначено ударение на сильном слоге. Таким образом, только на трех

109

оставшихся сильных слогах может стоять или не стоять реальное ударение. Поэтому

задача свелась к подсчету числа размещений с повторениями A23 = 23 = 8, а именно:

Среди этих восьми ритмических форм практически употребляются шесть, ред-

чайшая – – –′ –′ и неупотребительна – – – –′. Например, «Евгений Онегин» написан четырехстопным ямбом:

Однако главный герой этого романа так и не научился различать стихотворные размеры: «Не мог он ямба от хорея, Как мы ни бились, отличить». Первые теорети-

ческие исследования четырехстопного ямба с применением математических методов принадлежат известному поэту и теоретику символизма Андрею Белому. Он изучал математику в Московском университете, где читал лекции его отец, известный про-

фессор математики Н. В. Бугаев. В стихах он сумел интуитивно воплотить то, что доказывали комбинаторные формулы: возможно, такое ритмическое разнообразие форм ямба, которого не было ни в стихах поэтов пушкинской поры, ни в стихах его современников.

Современные филологи поколебали представление о том, что сильный слог в ямбе «преимущественно» ударный. Можно лишь сказать, как отмечает стиховед М. И. Шапир, что «ударения неодносложных слов в ямбической строке падают на четные слоги»9. Четырехстопный ямб заверен классиками, но так ли сильны были его позиции в прошлом веке? В «Очерках истории русского стиха» академик М. Л. Гаспаров утверждает, что во второй половине XX века пятистопный ямб теснил четырехстопный, а «передовитость» русского стиха того времени определялась долей неклассических стихотворных размеров.

Основными признаками, определяющими деление стихотворного текста на строфы, являются чередование различных клаузул и упорядоченность рифмовки. Характер ритмических окончаний, или клаузул, оказывает влияние на ритм стиха. Наряду с мужскими и женскими окончаниями встречаются еще и дактилические окончания с ударением на третьем от конца слоге. Сочетания всех этих признаков может быть разнообразным.

Вопрос: Сколько комбинаций мужских, женских и дактилических клаузул дают две пары рифм, расположенных перекрестно?

9Шапир М. И. Нечто о «механизме российских стихов», или Почему Онегин не мог отличитьямботхорея// ИзвестияРАН. Сер. лит. ияз. — 2002. — Т. 61, №5. — С. 42.

110

Напомним, что если в схеме строфы хотят показать не только порядок следования рифм, но и характер клаузул, то мужские обозначают строчными буквами

(а, в, …), а женские — прописными (А, Б, …). Дактилические обозначают пропис-

ными буквами со штрихом (А′, Б′, …). Поскольку схема сочетания рифм, расположенных перекрестно, имеет вид авав, то достаточно рассмотреть только первые две строфы с различными комбинациями клаузул. Поэтому задача свелась к подсчету

числа размещений с повторениями A32 = 32 = 9, а именно:

Стихотворения пишутся разными размерами, поэтому строфических вариантов даже из четырех стихов может быть огромное количество, и каждый вариант будет иметь собственное звучание. Например, приступая к работе над «Евгением Онегиным» Пушкин создавал весьма своеобразную крупную строфу, называемую онегинской строфой. Она содержит четырнадцать стихов и ее схема — АвАвССddEffEgg. Внутренняя структура строфы состоит из четырех подструктур. Первое четверостишие имеет перекрестную рифмовку, второе — смежную, третье — опоясывающую, плюс двустишие смежной рифмовки.

В античном метрическом стихосложении были распространены трехсложные стопы, состоящие из одного краткого и двух долгих слогов. Кроме того, были возможны замены долгих слогов краткими и наоборот. Целый ряд таких стоп не имеет аналогов в русском стихосложении.

Вопрос: Сколько всего трехсложных стоп существовало в античном метрическом стихосложении?

Обозначим долгий слог знаком « – », а краткий — знаком « » и посчитаем всевозможные упорядоченные комбинации, составленные из трех таких знаков. За-

дача свелась к подсчету числа размещений с повторениями A23 = 23 = 8, а именно:

дактиль – , амфибрахий – , анапест –, бакхий – –, амфимакр – –, палимбакхий – – , трибрахий , молосс или тримарк – – –.

Классическими размерами русской поэзии считаются два двусложных и три трехсложных размера с названиями, позаимствованными из античного греческого стиха. Вот как их охарактеризовал Николай Гумилев, считавший, что у каждого из них свои особенности и задачи. Ямб, как бы спускающийся по ступеням, свободен, ясен, тверд и прекрасно передает человеческую речь. Хорей, поднимающийся, окрыленный, всегда взволнован и то растроган, то смешлив, его область — пение. Дактиль, опираясь на первый ударяемый слог и качая два неударяемые, как пальма свою верхушку, мощен, торжественен, говорит о стихиях в их покое. Анапест, его противоположность, стремителен, порывист, это стихии в движенье. Амфибрахий, их синтез, баюкающий и прозрачный, говорит о покое божественно легкого и мудрого бытия.

111