Материал: erovenko_va_osnovy_vysshei_matematiki_dlia_filologov

анаграммы слова из двух букв a и одной буквы b, их количество равно P 2,1,0 = 3!/(2!1!0!) = 3. Для других одночленов подобного вида получим

такой же коэффициент, например, для b2c — это P 0,2,1 = 3!/(0!2!1!) = 3. Наконец, коэффициент при одночлене abc равен P 1,1,1 = 3!/(1!1!1!) = 6,

т. е. числу анаграмм слова из трех букв a, b, c.

Аналогичная формула получится и для куба суммы большего числа слагаемых, например, если n = 3 и k = 5, то

(a + b + c + d + e)3 = (a3 + … ) + 3(a2b + … ) + 6(abc + … ),

где многоточием в каждой скобке обозначены одночлены, получаемые из первого, записанного в скобке, всевозможными заменами из имеющихся пяти букв.

Пример. Посчитаем, сколько одночленов будет в каждой скобке правой части равенства:

(a + b + c + d + e)3 = (a3 +…+ e3) + 3(a2b +…+ e2d) + 6(abc +…+ edc).

Эта задача тоже сводится к подсчету перестановок с повторениями. Выпишем в строчку все 5 букв: abcde и под каждой буквой будем писать показатель, с которым она входит в соответствующий одночлен, а если она не входит в одночлен, то будем писать показатель 0. Тогда каждому одночлену в скобке (a3 +…+ e3) соответствует «слово из 5 чисел»: одной 3 и четырех 0, поэтому в этой скобке будет столько же одночленов, сколько анаграмм слова «30 000», т. е. 5!/(1!4!) = 5. Каждому одночлену в скобке (a2b +…+ e2d) соответствует «слово из 5 чисел»: одной 2, одной 1 и трех 0, поэтому их общее количество равно числу анаграмм слова «21 000», т. е. 5!/(1!1!3!) = 20. Наконец, каждому одночлену в скобке (abc +…+ edc) соответствует «слово из 5 чисел»: трех 1 и двух 0, поэтому их число равно количеству анаграмм слова «11 100», т. е. 5!/(3!2!) = 10.

Для проверки этих подсчетов положим a = b = c = d = e = 1. Тогда в правой части равенства получим число 53=125, а в левой части с учетом найденного количества одночленов получим число 5 + 3·20 + 6·10 = 125, что подтверждает правильность наших рассуждений.

* * *

Что можно сказать о словосочетании: математика и поэзия? «Стих толь-

ко тогда убедителен, когда проверен математической (или музыкальной, что то же) формулой. Проверять буду не я», — писала Марина Цветаева. Одним из самых заметных элементов стиха, его средством организации и средством фонетического украшения является рифма. Ей посвящено одно из стихотворений Алек-

сандра Сергеевича Пушкина:

102

Рифма, звучная подруга Вдохновенного досуга, Вдохновенного труда…

Рифма — звуковые повторы, несущие организующую функцию в композиции стихотворения, т. е. это звукосочетание, как правило, включающее в себя ударный слог, систематически повторяющийся на определенном месте стиха, обычно на конце. Концевое созвучие — это самый простой из множества способов связывать строки. Рифма — явление историческое, органически связанное с природой языка и литературной традицией. Рифмующиеся строки могут сочетаться между собой различным образом.

Вопрос: Сколькими способами могут сочетаться между собой рифмующиеся строчки катрена с двумя парами рифм?

Катрены — это четверостишия. Рифмующиеся строчки принято обозначать одинаковыми буквами алфавита. Пусть одна пара рифмующихся строк обозначена aa, а другая bb. Заметим, что поскольку буквы a и b равноправны, то достаточно рассмотреть четырехбуквенные «слова», составленные из двух букв a и двух букв b, начинающиеся на букву a. Так как первая буква во всех интересующих нас «словах» a, то ее можно в комбинаторном выборе не рассматривать, поэтому задача свелась к подсчету числа перестановок с повторениями 1-й буквы a и 2 букв b, т. е. это

P 1,2 = 1!32!! = 3, а именно: abb, bab и bba. Им отвечают следующие способы рифмовки:

смежная рифмовка — схема сочетания рифм aabb, перекрестная рифмовка — схема сочетания рифм abab, опоясывающая рифмовка — схема сочетания рифм abba.

Комбинирование смежной, перекрестной и опоясывающей рифмовок приводило к выработке более сложных конфигураций. Стихотворный текст, рассчитанный на запоминание, достигает этой цели тем, что делит речь на определенные, легко охватываемые сознанием, части. Это членение подчеркивается графически. Низшей смысловой единицей стихотворной речи является стих — объединение слогов в слова и объединения слов в промодулированные строками высказывания. Стих печатается отдельной строкой. Стихи объединяются в замкнутую группу высшего единства, образуя строфу, графически выделенную пробелом.

Основные признаки строфы — это интонационно-синтаксическая завершенность и определенное чередование рифмующихся стихов. Строение строфы могут определять и другие признаки. Первый из них — упорядоченное чередование клаузул, т. е. ритмических окончаний. Клаузулы различают по месту ударения. Окончания с ударением на последнем слоге называются мужскими и обозначают строчными буквами (a, b, c, …), а с ударением на предпоследнем слоге — женскими и обозначают прописными буквами (A, B, C, …). Так как в стихах с рифмами созвучны чаще всего клаузулы, то именно поэтому употребляют термины мужская рифма, женская рифма и т. д.

Вопрос: Сколько упорядоченных чередований клаузул допустимо по правилу альтернанса в катрене с парой мужских и женских рифм?

103

Правило альтернанса (от французского слова alternance — чередование) запрещает ставить рядом нерифмующиеся слова с однотипными клаузами. Например, при перекрестной рифмовке допускались схемы AbAb или aBaB, но не abab или ABAB. Чтобы учесть правило альтернанса, обозначим мужскую пару рифм aa, а женскую через AA. Задача свелась к подсчету числа перестановок с повторениями 2 букв a и 2 букв A, т. е. это P 2,2 = 2!4!2! = 6, а именно:

aaAA, AAaa — смежная рифмовка, aAaA, AaAa — перекрестная рифмовка, aAAa, AaaA — опоясывающая рифмовка.

Заметим, что по правилу альтернанса не допустимы схемы, рифмовки aabb и AABB, abab и ABAB, abba и ABBA. Главное свойство стихотворной речи, отличающее

ееот прозы, — это ритмичность, т. е. повторяемость, создаваемая упорядоченным расположением звуков речи. Можно ли говорить о математической теории стихосложения ? Ведь научное изучение ритмики стихотворения относится к его внутреннему смыслу, как лингвистический анализ текста математической статьи к оценке

ееистинности и содержательности. Тем не менее современному филологу, даже не знающему основ высшей математики, трудно отказаться от веры в «кредитоспособность» науки, основанной на строгом знании.

Благодаря таланту и мастерству поэта иногда кажется, что речь в строфе льется, совершено непринужденно, не скованная никакими рамками. Особым характером отличаются строфы, состоящие из нечетного количества стихов. Они несимметричны, это «беспокойные» строфы. Самые распространенные среди них — пятистишия с удвоенным третьим или четвертым стихом, создающие впечатление неожиданного нарушения равновесия.

Вопрос: Сколькими способами могут сочетаться строчки пятистишия с двумя и тремя рифмующимися стихами?

Пусть одна пара рифмующихся строк обозначена aa, а три другие рифмующиеся строки — bbb. Задача сводится к подсчету числа перестановок с повторениями

P 2,3 = 2!5!3! = 10, а именно:

aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba, bbaab, bbaba,

bbbaa.

Самые распространенные среди пятистиший: ababb и babba. Заметим, что хо-

тя смежная тройная рифмовка, bbb, появилась три века назад, в целом нечетность стихов в строфе в русском стихосложении не успела сложиться в систему.

Возвращаясь к вопросу о «математической теории стихосложения», обратим внимание на статью Б. Г. Каца «О программе, сочиняющей стихи», в которой на основе информации о мужской и женской рифме, количества слогов в соответствующей строке стихотворения, метрического и грамматического анализа стиха предлага-

104

ется некоторый алгоритм «сочинения» стихов с помощью компьютера. Целью этой работы было желание «узнать, какие минимальные средства позволяют добиться иллюстрации осмысленного стихосложения»8. Оказалось, что такой иллюзии можно добиться «очень малыми средствами». Компьютер, игнорируя семантику, сочинял, например, такие стихи:

Добрый воздух равнодушный Добрый мир иной ненужный Вновь печальна реет радость Только в опьяненьи сладость.

Помимо обычных размещений бывают и размещения с повторениями точно так же, как и перестановки с повторениями. Рассмотрим

модельную задачу на тему: «размещения с повторениями», решение ко-

торой отличается от способов подсчета вариантов «размещений без повторений», рассмотренных в предыдущем разделе.

Пример. Посчитаем число двухбуквенных слов, составленных из алфавита, содержащего три буквы: А, Б и В.

На первое место мы можем поставить любую из трех букв А, Б, В, независимо от этого на второе место опять можно поставить любую из трех букв А, Б, В, откуда получается 3·3 = 9 вариантов двухбуквенных слов:

АА, АБ, АВ, БА, ББ, БВ, ВА, ВБ, ВВ.

Если алфавит содержит n букв, например, {a1, a2, …, an}, то тогда можно составить n·n = n2 двухбуквенных слов.

Действительно, каждое двухбуквенное слово представляет собой пару (ai, aj) из двух элементов ai, aj {a1, a2, …, an}, поэтому по комбинаторному принципу умножения число таких двухбуквенных слов n2.

Далее из алфавита {a1, а2, …, an} можно составить n3 трехбуквенных слов, поскольку каждому из n2 двухбуквенных слов можно приписать на третьем месте любую из n букв заданного алфавита, т. е. по комбинаторному принципу умножения получается n2·n = n3 трехбуквенных слов.

Определение размещений с повторениями. Слова, составленные из k букв, которые можно получить из повторяющихся n букв, называ-

ют размещениями с повторениями.

Число всевозможных размещений с повторениями, а именно выборов

k объектов из повторяющихся n элементов, обозначают символом Ank .

8 Кац Б. Г. О программе, сочиняющей стихи // Автоматика и телемеханика. — 1978. — № 2. — С. 151.

105

С помощью горизонтальной черты над буквой A отличают случай с по-

вторениями от обычных размещений. Читается: «Число размещений с повторениями из эн по ка» или «A с чертой из эн по ка». Первое название излишне длинное и «торжественное», но в ясности ему не откажешь.

Утверждение. Число размещений с повторениями Ank можно вычислить по формуле:

Ank = nk

Доказательство. Если имеется k упорядоченных мест, для каждого из которых можно выбрать любой из n объектов, то по комбинаторному принципу умножения существует nk способов выбора объектов. Таким образом, число перестановок с повторением, когда k объектов выбираются из n объектов, равно nk, что и требовалось доказать.

В частности, с помощью формулы числа размещений с повторениями, подсчитанное выше число двухбуквенных слов, составленных из

трех букв алфавита {А, Б, В}, можно записать в виде A32 = 32 = 9. При

этом мы, по-прежнему, не обращаем внимания на семантическую значимость этих «слов».

Отличие между размещениями с повторениями и размещениями без повторений можно пояснить следующим образом. Допустим, у нас имеется набор «образцов» букв, входящих в выбранный алфавит. При использовании какой-нибудь буквы мы изготавливаем ее копию, поэтому можно считать, что каждая буква при наборе слова может быть использована во многих экземплярах. Тогда слова получаются с возможными повторениями букв, т. е. получаются размещения с повторениями. Если каждый элемент алфавита имеется лишь в единственном числе, то тогда повторно использовать его в наборе слова нельзя. Это уже случай

размещения без повторений или «обычного» размещения.

Пример. Посчитаем, сколько k-буквенных слов, содержащих хотя бы одну букву А, существует в русском алфавите.

Всего k-буквенных слов в русском алфавите, содержащем 33 буквы, включая ё, й, ъ, ь, согласно формуле числа размещений с повторениями,

равно числу A33k = 33k. Попробуем подсчитать, сколько среди них нуж-

ных, т. е. содержащих букву А. На 1-м, 2-м, …, (k–1)-м месте могут стоять любые из 33 букв, независимо от того, какие буквы стояли на предыдущих местах. На последнем шаге возникает альтернатива: если среди

106