Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Задерновский

37

С другой стороны, согласно теореме о циркуляции вектора В , полученное выражение должно быть пропорционально сумме токов, охватываемых контуром 1-2-3-4. Рассматриваемый контур охватывает nl витков, в каждом из которых течет ток I, тогда Bl 0 nl I . Отсюда получаем

Поскольку отрезок 1-2 был выбран произвольно, делаем вывод, что такое же значение индукции магнитного поля будет в любой точке внутри соленоида, т.е. это поля является однородным. На практике формулу (4.14) можно использовать для оценки поля в средней части любого соленоида, длина которого значительно больше его диаметра.

С помощью теоремы о циркуляции вектора В можно рассчитать также магнитное поле внутри тороида. Тороид (тор) с плотно намотанными на него витками тонкого провода, изображен на рис. 4.6.

Данное выражение показывает, что величина индукции магнитного поля внутри тороида уменьшается при удалении от его центра. Если радиус витков обмотки значительно меньше радиуса тороида, т.е. выполняется условие R2 - R1<< r, то можно считать, что n=N/(2 r) это число витков на единицу длины обмотки. В этом случае выражение (4.15) принимает вид B 0nI , полностью совпадающий с (4.14).

38

4.4. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных проводников с током

Как уже отмечалось, в начале XIX века Ампер исследовал взаимодействие друг с другом проводников с током. Он изучал также действие магнитного поля на проводники с током. Обобщая результаты опытов, Ампер

dF может быть найдено по общим правилам векторного произведения или по правилу левой руки.

Правило левой руки: если расположить левую руку так, чтобы перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а

Рис. 4.8

Будем считать, что один из проводников создает магнитное поле, действующее на другой проводник.

Возьмем два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с токами I1 и I2, расстояние между которыми равно b (рисунок 4.8). Проводник с

39

током I1 создает в месте, где находится второй проводник с током I2 , магнитное поле с индукцией

B1 0 I1 .

2 b

Подставив это выражение вместо В в (4.17), и, учитывая, что это поле перпендикулярно второму проводнику, получим, что сила, действующая на

элемент dl этого проводника равна dF2 0 I1I2 dl . Направление этой силы

2 b

определяем по правилу левой руки с учетом направления вектора B1 , показанного на рисунке. Такая же по модулю сила, согласно третьему закону Ньютона, будет действовать на первый проводник со стороны второго. Силы эти направлены в противоположные стороны, и проводники будут либо притягиваться друг к другу (если токи текут в одну сторону), либо отталкиваться (если токи текут в противоположные стороны).

Можно, таким образом заключить, что сила взаимодействия двух бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии b друг от друга равна

dF 0 I1I2 dl .

2 b

Силу, приходящуюся на единицу длины проводников, запишем в виде

Заметим, что такой же результат получил Ампер на основе своих экспериментов. В соответствии с (4.18) в СИ устанавливается единица силы тока ампер (А). 1А это такая сила постоянного тока, который, протекая по двум прямолинейным параллельным проводникам бесконечной длины, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывает между ними силу 2 10-7 Н на единицу длины.

4.5. Силы, действующие на контур с током в магнитном поле

Рассмотрим прямоугольный контур со сторонами a и b, находящийся в

однородном магнитном поле с линиями индукции B , параллельными плоскости контура (рис. 4.9а). Если по контуру течет ток I в направлении, показанном на рисунке, то на проводники, перпендикулярные полю, действуют силы Ампера F IBa . Момент этой пары сил, равный

Mmax = Fb = IBab = ISB,

40

будет поворачивать контур относительно оси OO'. При таком положении контура этот вращающий момент имеет максимальное значение. Под действием указанной пары сил контур будет поворачиваться до тех пор, пока его плоскость не станет перпендикулярна силовым линиям магнитного поля (рис. 4.9 б). При этом он окажется в положении устойчивого равновесия, т.к. силы F1=F2 и F3 =F4 моментов не создают и стремятся лишь деформировать контур.

Рис. 4.9

На рис. 4.9 в показан вид «сверху» (вдоль оси OO') на контур, в некотором промежуточном положении, когда положительная нормаль к его

плоскости n составляет угол α с линиями индукции. Напомним, что положительной называется нормаль, направление которой связано с направлением тока правилом правого винта. Из рисунка видно, что вращающий момент М, действующий на контур относительно оси ОО , равен

M = Fbsinα = IabBsinα = ISBsinα.

Можно, таким образом, сделать вывод, что контур с током ориентируется в магнитном поле подобно магнитной стрелке, параллельной его нормали. При этом вращающий момент зависит от произведения силы тока на площадь контура. Поэтому по аналогии с электрическим дипольным моментом был введен вектор, названный магнитным дипольным моментом контура с током.

Можно доказать, что полученное соотношение выполняется для плоского контура произвольной формы в однородном магнитном поле.