Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Задерновский

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	31
I	1 2 12	,	(3.16)
	R r

где r – внутреннее сопротивление источника тока. Если сторонние силы направлены против тока (препятствуют перемещению условного положительного заряда), то в формуле (3.16) перед ЭДС 12 надо поставить знак минус.

	3.10. Закон Ома для замкнутой цепи
	Если мы имеем дело с замкнутой цепью, то точки 1 и 2 совпадают и
φ1	= φ2. Таким образом, для замкнутой цепи получаем закон Ома (3.16) в виде
	I
			.	(3.17)
		R r

3.11. Работа, мощность и тепловое действие тока. Закон Джоуля-Ленца

Если между точками с разностью потенциалов U переносится заряд dq, то при этом совершается работа dA = Udq. Из определения силы тока I следует, что dq=Idt. Тогда dA=IUdt. Мощность, развиваемая током на этом участке равна

P dAdt IU .

Если падение потенциала происходит на омическом сопротивлении проводника, то U = IR, и мощность, выделяющаяся на нагрузке можно записать в виде

P=IU=I2R

(3.18)

При протекании тока происходит нагревание проводника. За промежуток времени dt в нем выделяется количество теплоты dQ равное совершенной за это время работе

dQ = I2Rdt

(3.19)

Данное соотношение носит название закона Джоуля Ленца.

3.12.Законы Ома и Джоуля -Ленца в дифференциальной форме

Визотропном проводнике направление векторов j и E совпадают.

Выделим небольшой объем проводника в виде цилиндра с площадью основания dS и длиной dl (рис. 3.1). Ток через площадку dS будет равен dI = jdS. С другой стороны

dl 1

Edl

EdS

σE .

, т.е.

Записав полученное выражение в векторном виде, получаем соотношение,

называемое законом Ома в дифференциальной форме

Рис. 3.1


j	σE .	(3.20)

Найдем теперь мощность, выделяющуюся в данном объеме dV. Согласно (3.18) с учетом (3.10) и (3.15), она будет равна

dP jdS 2 ρ dSdl j2 ρ dSdl j2 ρdV .

Мощность, выделяющуюся в единице объема,

называют удельной мощностью тока	Р	dP	j2 ρ	j2	. Иными словами

	уд	dV		σ

это количество тепла, выделившееся в единице объема за единицу времени. Отсюда, используя закон Ома (3.20), получаем закон Джоуля Ленца в

дифференциальной форме

Р σЕ2 .	(3.21)
уд

ЛЕКЦИЯ 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

4.1.Магнитное поле. Вектор магнитной индукции

В1820 году Эрстед открыл воздействие проводника с током на магнитную стрелку. В результате по аналогии с электрическим полем, создаваемым неподвижными зарядами, было введено понятие магнитного поля, создаваемого токами, то есть движущимися зарядами. Естественно было предположить, что и действовать магнитное поле должно на проводники с токами и, соответственно, на движущиеся заряды. Взаимодействие

проводников с током в том же году обнаружил и исследовал Ампер.

Основной характеристикой магнитного поля является вектор В , носящий название индукция магнитного поля. В данной точке поля этот вектор совпадает по направлению с силой, которая действует на северный полюс бесконечно малой магнитной стрелки, помещенной в эту точку.

Единицей измерения магнитной индукции в СИ является тесла (Тл). Изображают магнитное поле с помощью силовых линий. Силовая линия

(линия индукции магнитного поля) линия в пространстве, касательная к

которой в каждой точке совпадает с направлением вектора В . Однако, в

отличие от линий электростатического поля, силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Это означает, что магнитное поле является вихревым, а магнитные заряды отсутствуют.

4.2. Закон БиоСавараЛапласа и его применение

Опыт

показывает,

что

для

магнитного

поля,

так же

как

для

электрического, справедлив

принцип суперпозиции:

магнитное

поле

B ,

создаваемое

несколькими

токами, равно векторной сумме

полей

Bi ,

создаваемых каждым током в отдельности

B Bi .

(4.3)

Используя этот принцип можно рассчитать индукцию поля, создаваемого

каким-либо проводником с током,

разбивая проводник на малые элементы и

суммируя индукции полей, порождаемых каждым

из этих элементов.

Значение индукции

магнитного

поля

dB ,

создаваемого элементом проводника

dl в

точке,

находящейся на расстоянии r от него (рис. 4.1),

дает закон Био-Савара-Лапласа:

0 I dl , r

(4.4)

Рис. 4.1

Здесь 0=4 10-7 Гн/м магнитная постоянная. (Гн

генри,

- вектор, проведенный от

единица индуктивности), I – сила тока, а r

элемента

в данную точку (ориентация вектора

совпадает с направлением

тока). Направление вектора

определяется

по

правилам

векторного

произведения или с помощью правила буравчика (правого винта), которое заключается в следующем: буравчик с правым винтом (штопор) нужно вращать таким образом, чтобы его остриё продвигалось по направлению тока, тогда

направление вращения ручки			буравчика	совпадает с направлением вектора
		магнитной индукции поля, создаваемого этим током.
		В	скалярной		форме		закон		Био-Савара-Лапласа
		имеет вид
dB	B				0	Idl sin
I			dB		0	Idl sin		,	(4.5)
I			dB		4	r2		,	(4.5)
R

dl		где α – угол между векторами dl						и r .
dl
Рис. 4.2		С помощью данного закона нетрудно рассчитать,
Рис. 4.2		например, индукцию				магнитного			поля в центре
		например, индукцию				магнитного			поля в центре
кругового витка с током (рис. 4.2). Элемент витка								, по которому течет ток
кругового витка с током (рис. 4.2). Элемент витка							dl	, по которому течет ток

силой I, создает в центре витка поле с индукцией dB ,								направленной вдоль оси

витка В этом случае r = R , угол α равен 90º и sinα = 1, поэтому получаем

dB 0 Idl .

4 R2

Учитывая, что все элементы витка создают поля, направленные в одну сторону, находим результирующее значение индукции магнитного поля простым интегрированием

B dB

2 R

4 R

Рассчитаем теперь поле, создаваемое отрезком прямого проводника с

током, в точке М, отстоящей на расстоянии b от проводника.

Выделим

элемент

проводника

(рис. 4.3).

Пусть элемент dl

виден из точки М

под

малым

углом d . Положение точки М

относительно

элемента

определяется

вектором

Из

рисунка

видно,

что

r .

выполняются следующие соотношения

и dl

(4.6)

cos

cos2

Рис. 4.3

Используя закон Био-Савара-Лапласа (4.5),

запишем

индукцию

магнитного

поля,

создаваемого элементом тока dl в точке М, как

Idl sin

Idl cos .

(4.7)

4 r2

Подставив (4.6) в (4.7), получим

d .

cos

(4.8)

Направление вектора dB (перпендикулярно плоскости чертежа) показано

на рисунке 4.3. Чтобы определить индукцию магнитного поля, создаваемого

отрезком провода протяженностью, равной расстоянию	от элемента		до
		dl
основания перпендикуляра, опущенного из точки М,	нужно найти	сумму

векторов dBi от всех элементов dli. этого отрезка. Так как ориентация векторов

dBi одинакова, векторное суммирование можно	заменить простым

интегрированием выражения (4.8) от ноля до некоторого конкретного значения угла (обозначим его 1 ). Тогда получим

B	1			I	cos d			I	sin .
B			0		cos d		0		sin .
		4 b				4 b			1
		4 b				4 b
	0

В случае отрезка, концы которого лежат по обе стороны от основания

перпендикуляра, к последнему выражению, очевидно, надо прибавить

аналогичное, в котором надо заменить 1

на 2 . В результате, получим общее

выражение для индукции магнитного поля, создаваемого прямым проводником

конечной длины

B 0I (sin sin

)

(4.9)

4 b

В случае бесконечного прямого тока 1

2 и, в итоге, получим

0 I .

(4.10)

2 b

Силовые линии магнитного поля прямого тока представляют собой

концентрические окружности (см. рис. 4.3).

4.3. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора

магнитной индукции) и его применение

Мы видели, что циркуляция вектора напряженности электростатического

поля по замкнутому контуру равна нулю. Иначе обстоит дело с магнитным по-

лем. Найдем циркуляция вектора В

по како-

му-либо замкнутому контуру. Рассмотрим

простейший случай прямого тока, и пусть вы-

бранный контур L лежит в плоскости, перпен-

дикулярной току I (рис. 4.4). Выберем малый

элемент контура

и рассмотрим скалярное

, где

произведение

B, dl

В индукция маг-

нитного поля,

создаваемого током I

в точке,

Рис. 4.4

где расположен вектор dl

. Из рисунка 4.4 и из

(4.10) следует, что

I rd 0 I d ,

B, dl B dl

2 r

где r кратчайшее расстояние от проводника с током до элемента

dl , d

угол, под которым виден элемент dl

из точки пересечения проводника и плос-

кости контура.

Тогда циркуляция вектора B

по замкнутому контуру L будет

равна

I d .

B, dl

Смотрите также:

10 удивительных фактов о вирусах
1471
Ekzamenatsionnye_voprosy_PDB
mbrf2045ctrev1dx
Otchet-Explpraktika
vse_testy_mikrobaall
Административное правонарушение как основание административной ответственности
Анализ материально-производственных запасов предприятия ОАО 'АвтоВАЗагрегат'
Анализ платформы SAP на производственных и муниципальных организациях
Анализ эффектов авроральных суббурь по данным вертикального зондирования ионосферы в Арктике