Материал: Эффект фотонной лавины в кристаллах и наноструктурах. Монография (Перлин), 2007, c.120
нием оси роста наноструктуры. Аналогичным образом можно записать матричные элементы указанных взаимодействий, фигурирующие в выражениях для вкладов других диаграмм.
Огибающие четные (+) и нечетные (–) волновые функции для электронных состояний в квантовой яме глубиной Uc имеют вид:
|
|
(±) |
(z) = |
|
|
1 |
cos kn z |
|
|
|
||||
|
ϕn |
|
|
sin k |
z |
, |
|
|||||||
|
|
1+ |
η−1 |
(4.6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
η |
n |
= k2 |
− k2 |
, k |
0 |
= h−1 2m U |
c |
. |
||||||
|
|
0 |
n |
|
|
|
|
c |
|
|
||||
Для четных и нечетных состояний в яме величины kn определяются как корни трансцендентных уравнений:
tg kn =ηn / kn , tg kn = kn /ηn. |
(4.7) |
Согласно закону сохранения квазиимпульса для рассматриваемого процесса:
k21 −k1 = k3 −k23 = q . |
(4.8) |
Считаем для простоты, что электроны в подзоне 2 заполняют состояния на дне подзоны до соответствующего квазиуровня Ферми. Состояния в подзоне 3 и 1, где электроны оказываются в результате процесса
22 + hω → 31, расположены далеко от дна подзоны. Поэтому заполнение этих состояний можно не учитывать. Тогда для полной вероятности пере-
хода 22 + hω → 31 имеем:
W22,31 = |
S3 |
∫ dk21 |
∫ dk23 ∫dqW (k21,k23;k21 −q,k23 + q), |
(4.9) |
(2π)6 |
||||
|
|
k21≤k2 F |
k 23 ≤k2 F |
|
где kiF – граничные волновые числа Ферми для i-ой подзоны. Представим δ-функцию в правой части (4.1) в виде:
=δ(hω + E2k21 − E1(k21−q) − E3(k23 +q) + E2k23 ) =
= m2c δ |
[λ − q2 |
+ q (k21 −k23 )], |
(4.10) |
|||
|
||||||
h |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
λ = mc (hω + 2E |
|
− E |
− E ). |
(4.11) |
||
h2 |
|
|
20 |
10 |
30 |
|
Выполняя с помощью δ-функции интегрирование по углу между двумерными векторами q и (k21 – k23 ) получим вместо (4.10) выражение
→ |
|
|
|
|
|
mc |
. |
(4.12) |
||||
h2 (q |
|
k21 |
−k23 |
|
+ λ − q2 )(q |
|
k21 −k23 |
|
− λ + q2 ) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
63
Пределы интегрирования по q = q в (4.9) таковы, что подкоренное выражение в знаменателе (4.12) всегда положительно. Имеем:
|
|
|
|
(d ) |
|
|
S3m |
|
|
|
4πn2 |
|
|
|
|
4πn2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
W22,31 = |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
∫ |
k21dk21 |
|
∫ |
k23dk23 ∫ dθ × |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(2π) |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
s2 (θ )+ p2 (θ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M (d ) (q))2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
× ∫ dq q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.13) |
||||||||||||
|
|
|
(ξ − |
(s |
2 |
(θ) − p |
2 |
(θ)) |
2 |
)((s |
2 |
(θ) + p |
2 |
(θ)) |
2 |
−ξ |
2 |
) |
||||||||||||||||||||
|
s2 (θ )−p2 (θ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
s2 (θ) = (1/ 2) |
|
k |
21 |
−k |
23 |
|
|
= (1/ 2) |
k |
2 |
+ k2 |
− 2k k |
23 |
cosθ , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
23 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
(4.14) |
|||||||
|
|
|
|
p2 (θ) = (1/ 2) |
|
|
k2 |
+ k2 |
− 2k k |
cosθ + 4λ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
23 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для полной вероятности необходимо ввести множитель β, описывающий слабую интерференцию прямого и обменного вкладов в вероятность перехода 22→31. Как показывают более детальные вычисления, этот коэффициент слабо отличается от единицы. В итоге получаем:
W22,31 = 2βW22,31(d ) . |
(4.15) |
Рис. 4.3. Зависимость вероятности W22,31 от концентрации носителей в подзоне
2: a = 5 нм, j = 1 МВт/см2
64
На рис. 4.3 представлена зависимость величины W / S от концен-
трации электронов в подзоне 2 при полуширине квантовой ямы, a = 5 нм, и энергии кванта hω = 0.3 эВ.
§ 4.4. Уравнения баланса заселенностей электронов
При составлении уравнений баланса следует иметь в виду, что при больших интенсивностях накачки j концентрации электронов в подзонах 1 и 2 становятся сопоставимыми, и следует учитывать фотоиндуцированные переходы, как с поглощением, так и с испусканием фотона. Сказанное не относится к переходам 2 → 3, 3 → с, так как конечные состояния для этих переходов практически не заполнены из-за отдаленности от минимумов соответствующих подзон в квантовой яме. Обладая относительно большой кинетической энергией, электроны или дырки в этих конечных состояниях быстро теряют ее за счет внутризонной или внутриподзонной релаксации и покидают область резонанса.
Система уравнений для концентраций электронов n1,2,3,с в трех подзонах квантовой ямы и в непрерывном спектре имеет вид:
n&c =σ3c jn3 −Wc3nc ,
n&3 =Wc3nc −σ3c jn3 − (W31 +W32 )n3 +W22,31(n2 ),
n&2 = −W21n2 +W32n3 − 2W22,31(n2 ) +σ12 j(n1 − n2 ), n&1 = −σ12 j(n1 − n2 ) +W21n2 +W31n3 +W22,31(n2 )
(4.16)
с начальными условиями: n2, n3, nc =0, n1 = n0 при t = 0. В формулах (4.16) nc – «двумерная» концентрация носителей в зоне проводимости, отличающаяся от обычной концентрации n%c множителем nw (число квантовых ям на
единицу длины в направлении оси роста наноструктуры), n%c = nwnc ;
Wij (i > j) – скорости релаксационных переходов из i-й подзоны в j-ю, σji – сечения оптических переходов между j-ой и i-ой подзонами, σc3 – сечение оптического перехода между верхней подзоной 3 и состояниями непрерывного спектра зоны проводимости, Wc3 – скорость захвата электронов и
дырок из непрерывного спектра зоны проводимости в подзону 3 квантовой
ямы. Вероятность перехода 22 + hω → 31 описывается членом W22,31. Оценка сечений σij оптических переходов между i-й и j-й подзонами про-
водится с учетом того, что типичные ширины полос межподзонного поглощения составляют 10-30 мэВ. Сечения σc3 были рассчитаны в § 3.2.
При численных расчетах удобно пользоваться уравнениями баланса именно в форме (4.16), хотя благодаря соотношению nc + n3 + n2 + n1 = n0 можно свести (4.16) к системе из трех нелинейных уравнений.
65
§ 4.5. Результаты численного решения уравнений баланса и их обсуждение
В расчете использовались следующие значения параметров, фигурирующих в правых частях уравнений (4.16): a = 3.0 нм, n0 =1012 см-2, mc = 0.04m ,
W31 = 20 нс-1, Wc3 =10 нс-1, W32 = 70 нс-1, W21 = 100 нс-1, σ12 = 3 см2 / нс МВт,
σ3c = 25 см2/МВт нс, Uc =1.74 эВ.
Рис. 4.4. Зависимости концентраций носителей в подзонах размерного квантования и в зоне проводимости от времени с момента включения импульса накачки; n1, n2 – пунктирная линия; n3 – штриховая линия; nc – сплошная линия
На рис. 4.4 приведены зависимости концентраций носителей в подзонах квантовой ямы и в непрерывном спектре от времени, прошедшего с момента включения импульса накачки с интенсивностью 1 МВт/см2. Следует отметить, что вследствие того, что частота падающего света попадает в резонанс с частотой перехода между первой и второй подзонами, происходит быстрое перераспределение электронов между ними и затем их заселенности практически совпадают. В отличие от эффекта фотонной лавины заселенности плавно меняются со временем. Квазиравновесные заселенности при j = 1 МВт/см2 устанавливаются за времена порядка наносекунд.
66
Рис. 4.5. Зависимости квазиравновесных концентраций носителей в подзонах размерного квантования и в зоне проводимости от интенсивности накачки j: n1, n2 – пунктирная линия; n3 – штриховая линия; nc – сплошная линия
На рис. 4.5 приведены зависимости квазиравновесных заселенностей n1,2,3,c от интенсивности импульса накачки. Видно, что уже при небольших
интенсивностях света заселенности первой и второй подзон размерного квантования практически выравниваются. Заселенность третьей подзоны все время остается низкой в силу того, что из этой подзоны электроны, по-
глощая кванты света hω, быстро уходят в непрерывный спектр. Концентрация носителей в состояниях непрерывного спектра оказывается высокой. Так при j ~ 100 КВт/см2 и среднем расстоянии между квантовыми
ямами ~ 10−5 см квазиравновесная концентрация носителей составляет ~ 1017 см−3.
Полученные результаты показывают, что в отличие от эффекта фотонной лавины механизм оптического трамплина не характеризуется ка- кой-либо пороговой интенсивностью возбуждающего света, вблизи которой состояние системы претерпевает резкие изменения. Тем не менее, в случае достаточно высокой начальной концентрации электронов в нижней подзоне размерного квантования механизм оптического трамплина приводит к эффективной ионизации глубокой квантовой ямы длинноволновым светом с частотой, резонансной переходу между двумя нижними подзонами размерного квантования. При этом разность энергий электрона в состоянии непрерывного спектра и в нижней подзоне размерного квантова-
67