Материал: ДИНАМИКА

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тогда

n

 

 

d

 

T

 

 

T

 

 

Qi

 

 

+

qi

= 0

 

qi

 

i=1

 

 

dt

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

T

 

T

 

 

 

 

 

 

= Qi

 

 

 

 

 

 

qi

dt

qi

 

 

(i = 1, 2, …, n).

Это уравнения Лагранжа второго рода.

Если силы, действующие на систему, потенциальные

Qi

= −

 

(i = 1, 2, …, n).

qi

 

 

 

 

 

(9)

(10)

356

 

 

d

 

 

T

 

 

T

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

q

 

q

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

(i = 1, 2, …, n).

 

 

 

 

d

(T )

(T )

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

q

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

Функция Лагранжа

L(qi, q i, t) = T П ,

d

L

 

L

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

qi

dt

qi

 

 

(i = 1, 2, …, n).

(i = 1, 2, …, n).

357

При решении задач аналитической динамики с помощью уравнений Лагранжа второго рода следует соблюдать следующую последовательность действий:

1)определить число степеней свободы рассматриваемой механической системы и выбрать наиболее удобные обобщенные координаты;

2)вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном

движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты qi и обобщенные скорости

3)изобразить действующие на систему активные силы (и силы трения), составить выражения для работы этих сил на возможном перемещении и из этого выражения определить обобщенные силы соответствующие выбранным обобщенным координатам;

4)вычислить производные, входящие в левую часть уравнений Лагранжа;

5)подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа;

6)найти решения получившихся дифференциальных уравнений,

соответствующие заданным начальным условиям.

358

Лекция 15 3.58. Основы теории малых колебаний

около положения устойчивого равновесия

Механическая система называется колебательной, если все или некоторые обобщенные координаты, определяющие положение системы, изменяются не монотонно, а претерпевают многократное их возрастание и убывание.

Положение системы называется положением равновесия, если в начальный момент времени система была приведена в это положение при нулевых скоростях и все время остается в этом положении.

359

Положения равновесия:

-неустойчивое (а),

-устойчивое (б),

-безразличное (в).

360