Материал: ДИНАМИКА
3. Сила зависит только от координаты.
Fx = F (x).
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения
|
d2 x |
|
dv |
= F(x). |
|
||||
m dt2 = F(x) |
или m dt |
(14) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Исключаем время t, c помощью (9). |
|
||||||||
|
|
||||||||
vdv |
или mvdv = F(x)dx. |
(15) |
|||||||
|
|
|
|
||||||
m dx = F(x) |
|||||||||
|
|||||||||
46
Интегрируя при t = 0 |
x = x0, а v = v0, получим: |
|
||||
|
mv2 |
mv |
2 |
x |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
= F(x)dx. |
|
|||
|
|
− |
|
(16) |
||
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
x0 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Откуда:
Заменяя v интегрируя получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = v |
2 |
+ |
2 |
|
(x). |
(17) |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
на |
|
|
|
, разделяя переменные и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 до x и от |
|
||||||||||
в пределах |
от |
|
0 до t, |
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= t. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v02 + |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(x) |
|
||||||||||||||
|
|
|
m |
|
47 |
|||||||||||||
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.7. Падение тела в сопротивляющейся среде
Сила сопротивления:
R = −kv (1)
k – коэффициент, зависящий от плотности среды и формы тела.
48
Дифференциальное уравнение движения тела:
|
|
m |
dv |
= mg −kv |
|
||
|
(2) |
||||||
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
||||
Начальные условия |
|
||||||
x |
|
t=0 =0 и v |
|
t=0 =0. |
(3) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
49
Разделяя переменные и используя начальные
условия, получим:
v |
dv |
|
|
m |
|
|
|
|
v0 |
|
m |
= t или |
− |
ln |
|
mg − kv |
|
||||
|
|
|||||||||
mg − kv |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= t, (4)
|
|
mg |
− |
k |
t |
|
|
откуда |
v = |
|
). |
|
|||
k |
(1−e |
m |
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|||
50