При t = 0 имеем x = x0.
Разделяя переменные и интегрируя в пределах от x0 до x и от 0 до t, находим :
x = x0 +v0t + |
1 t |
(t)dt. |
(4) |
||
|
|
||||
m |
|||||
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
||
41
2. Сила зависит только от скорости.
Fx = F (v).
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения
m |
d2 x |
= F(v) или m |
dv |
= F(v). |
(5) |
||
dt |
2 |
dt |
|||||
|
|
|
|
||||
Разделяя переменные и интегрируя в пределах от v0 до v и от 0 до t, получим:
|
v |
dv |
|
|
|
m |
|
= t. |
(6) |
||
F (v ) |
|||||
|
|
42 |
|||
|
v |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Интегрируя (6) находим:
|
dx |
= (t). |
|
v = dt |
(7) |
||
|
|
|
|
Откуда
|
t |
|
|
x = x0 + |
|
(t)dt. |
(8) |
|
|||
|
0 |
|
|
43
Если из уравнения (6) нельзя найти v как явную функцию времени воспользуемся преобразованием
dv |
= |
dv |
|
|
dx |
=v |
dv |
(9) |
|||
dt |
dx dt |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
m |
vdv |
|
|
|
|||||||
|
dx = F(v). |
(10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Откуда:
x = x0 |
+ m |
v |
vdv |
. |
|
|
|
|
(11) |
||||
F (v ) |
||||||
|
|
|
|
|||
|
v |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
44
Пусть из уравнения (11) можно найти v как явную функцию x
v = |
dx |
= (x). |
(12) |
|
dt |
||||
|
|
|
Отсюда интегрируя вторично, получим:
dx |
= dt и |
x |
dx |
= t. |
|
|
|
|
|
(13) |
|||
(x) |
(x) |
|||||
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Последнее уравнение определяет x как функцию времени t.
45