Материал: Д6577 Алексеев ГВ Основы научных исследований

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Институт холода и биотехнологий

Г.В. Алексеев, Е.И. Верболоз

Основы научных исследований, организации и планирования эксперимента Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург

2012

УДК 658.521.011.621

Алексеев Г.В., Верболоз Е.И. Основы научных исследований, организации и планирования эксперимента: Учеб.-метод. пособие.  СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2012.  45 с.

Даются рекомендации и примеры обработки результатов активного и пас-сивного экспериментов для построения регрессионных моделей процессов и аппаратов пищевых производств, а также рекомендации по обработке экспериментальных данных и исследованию построенных моделей с помощью методов линейного программирования с использованием пакетов прикладных программ Excel и Mahtcad. Приводятся варианты домашних заданий.

Предназначено для выполнения домашних заданий по программам подготовки магистров направления 151000 «Технологические машины и оборудование».

Рецензент: доктор техн. наук, проф. В.А. Арет

Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом Института холода и биотехнологий

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных техно-логий, механики и оптики».

 Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2012

 Алексеев Г.В., Верболоз Е.И., 2012

Введение

Цель домашнего задания – научить студентов, обучающихся по магистерским программам направления 151000 «Технологические машины и оборудование», самостоятельно исследовать проблему, препятствующую дальнейшему совершенствованию производства технологических машин и оборудования, в первую очередь предназначенных для пищевой промышленности и пищевых производств, и выбирать пути для ее разрешения.

Выполнившие это задание, в частности, должны:

– знать методы и средства обеспечения оптимального конструирования машиностроительной продукции, новейшие технологии конструирования технических устройств;

– уметь построить план активного или пассивного эксперимента для моделирования процесса пищевого производства при определении оптимальных условий его реализации или выбора оптимальной конструкции для соответствующего аппарата; пользоваться новейшими технологиями конструирования технических устройств;

– иметь навык по использованию компьютерной техники для реализации оптимальных режимов процессов и параметров конструкций оборудования для пищевых производств.

Курс «Основы научных исследований, организации и планирования эксперимента» базируется на естественно-научной и инженерной подготовке студентов и тесно связан со следующими дисциплинами, изучаемыми в университете: высшей математикой (разделы: теория вероятности и математическая статистика); теорией механизмов и машин (в полном объеме); гидравликой (в полном объеме); инженерной графикой (в полном объеме) и информатикой (разделы: операционная система Windows, численные методы вычислений и пакет прикладных программ Mathcad).

При изучении данного курса требуется осуществить достаточно большой объем вычислительных работ, в том числе с приме-нением компьютерной техники, поэтому предусматриваются проведение практических занятий и выполнение домашнего задания.

Учебно-методическое пособие предназначено для глубокой проработки отдельных разделов теоретического курса и оказания помощи студентам при самостоятельном выполнении индивидуального домашнего задания, в том числе с использованием персонального компьютера.

1. Методология математического моделирования технологических машин и оборудования пищевых производств

1.1. Основные понятия планирования эксперимента (активный эксперимент)

При активном планировании любой фактор должен быть управляемым, чтобы его значения можно было устанавливать на разных уровнях. В многофакторном активном эксперименте факторы должны быть независимыми, тогда любой из них можно устанавливать независимо от уровней других факторов. Все возможные сочетания уровней изучаемых факторов встречаются при полном факторном эксперименте (ПФЭ). В этом случае количество испытаний n равно взаимному произведению чисел уровней каждого из факторов. Если число уровней K каждого из факторов одинаково, то n = K^p, где p – количество факторов. Для десяти факторов, имеющих по четыре уровня, n = 4¹⁰ млн. В подобных случаях схему ПФЭ реализовать практически невозможно. Активные эксперименты ставятся таким образом, что в каждом опыте независимые факторы варьируются по специальному плану.

Методы активного планирования эксперимента позволяют нейтрализовать пропущенные сочетания уровней. Родоначальником направления является английский ученый Р.А. Фишер. Направление получило дальнейшее развитие в работах Иэйтса, Г.Е. Бокса, К.В. Уилсона, В.В. Налимова.

Предположим, что находят уравнение модели объекта в форме полинома (отрезка степенного ряда Тейлора):

В каждом i-м опыте факторы представляются i-й

точкой факторного пространства. Целью планирования эксперимента является нахождения оценок коэффициентов b_... уравнения модели по результатам опытов в n точках факторного пространства. Поверхность отклика обычно исследуется до тех пор, пока не будет обнаружена область, близкая к оптимальному (минимальному или максимальному) значению Y. На этом исследование прекращают.

При планировании эксперимента должны учитываться следующие предпосылки:

1) наблюдения отклика y_i – независимые нормально распределенные случайные величины;

2) ² дисперсии [Y_i ] равны между собой в любой точке факторного пространства (воспроизводимость с равной точностью);

3) значения факторов X₁, ..., X_p изменяются (варьируются) с малыми ошибками по сравнению с ошибками отклика Y, т. е. значения факторов являются неслучайными величинами.

Полный факторный эксперимент. Пусть для выбранного объекта исследования надо найти такое сочетание факторов, при котором значение целевой функции минимально, y = f_min(x₁, ..., x_p ). Если надо найти максимум целевой функции g (x₁, ..., x_p) , то это равнозначно нахождению минимума функции f ( ) = –g ().

Точка начала эксперимента называется базовой (нулевой) точкой. Это центр плана эксперимента. Его координаты (x₁₀, ..., x_j0, ..., x_p0 ) = ₀ называются базовым, или нулевым, уровнем. Базовую точку ₀ выбирают ближе к центру области факторного пространства, в которой ведется математическое описание объекта.

Ограничимся случаем, когда для нахождения поверхности отклика в окрестности базовой точки ₀ каждый из факторов X_j варьируют на двух уровнях, отличающихся от базового уровня x_j0 на величину интервала варьирования х_j. Интервал варьирования х_j не может быть меньше той ошибки, с которой выставляется уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень оказался за пределами области определения факторов. Поэтому интервал варьирования выбирают равным 0,05–0,3 от допустимого диапазона изменений факторов, т. е. область варьирования составляет 10–60 % от всего диапазона.

Для упрощения обработки результатов эксперимента и интерпретации результатов переходят от натуральных значений факторов x_j к нормированным, безразмерным значениям:

z_j = (х_j – х_j0) / х_j.

В новой системе координат верхнему и нижнему уровням фактора x_j соответствуют нормированные значения z_jв = 1, z_jн = –1, которые не зависят от физической природы и интервалов варьирования факторов.

Матрица планирования полного факторного эксперимента реализует все возможные неповторяющиеся комбинации уровней p независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций n = 2^р определяет число точек факторного пространства и равно числу опытов.

Планирование эксперимента сводится к построению матрицы планирования (МП). Если исследуется трехфакторная модель объекта, для которой функция отклика относительно стандартизированных факторов имеет вид

то матрица планирования ПФЭ (матрица Адамара) для p = 3 выглядит так, как показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Матрица планирования полного факторного эксперимента

Примечание: 1) z₀ – фиктивный фактор, соответствующий постоянной составляющей b₀ уравнения объекта; 2) y – значения отклика, соответствующие определенным сочетаниям фактора.

Правила построения матрицы планирования:

1. В первой строке (i = 1) все факторы устанавливаются на нижнем уровне: z _j = –1, j = 1, ..., p.

2. Последующие строки формируются по такому правилу: при последовательном переборе точек факторного пространства (строк МП) частота смены знака для каждого последующего фактора z_j+1 вдвое меньше, чем для предыдущего z_j.

3. Все взаимодействия факторов z_jz_i (i =  j  i  …) для каждой точки факторного пространства получаются перемножением нормированных значений соответствующих факторов.

Проведение ПФЭ позволяет оценить не только силу влияния факторов на отклик, но и эффекты взаимодействия: например, как добавление одних веществ будет стимулировать влияние других на качество выпускаемого продукта.

Столбцы МП, соответствующие факторам z₁, z₂, ..., z_p (в табл. 1.1 обведены), образуют матрицу спектра плана. Вся МП, включающая фиктивный столбец и взаимодействия факторов, часто называется расширенной информационной матрицей.

Свойства матрицы планирования (без фиктивного столбца):

1) симметричность относительно нулевого уровня; означает, что алгебраическая сумма элементов каждого столбца равна нулю;

2) сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (свойство нормировки);

3) дисперсии предсказанных значений отклика одинаковы на равных расстояниях от нулевого уровня (свойство ротатабельности);

4) ортогональность; означает, что сумма почленных произведений любых двух различных вектор-столбцов матрицы равна нулю:

.

Таким образом, ПФЭ обладает ортогональной матрицей планирования (ОМП). Ортогональность вектор-столбцов МП позволяет оценивать коэффициенты модели регрессии независимо друг от друга, т. е. избавиться от неопределенности, связанной с неоднозначным оцениванием этих коэффициентов.