Материал: Д6521 Алесеев ГВ Основы научных исследований организации и планирования эксперимента

1. По заданной выборке определить оценки основных числовых характеристик распределения генеральной совокупности показателей свежести хлебобулочных изделий (выборочное среднее и несмещенную выборочную дисперсию ).

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Проверить, используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости статистическую гипотезу о принадлежности заданной выборки нормальному распределению.

Краткие сведения из теории

На практике часто встречаются случаи, когда распределение генеральной совокупности неизвестно, но есть основания предполагать, что оно имеет определенный вид . В этом случае проверяют нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная совокупность имеет распределение .

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Идея применения критериев согласия заключается в следующем. На основании статистического материала необходимо при уровне значимости проверить гипотезу , состоящую в том, что случайная величина Х подчиняется некоторому закону распределения . Для того чтобы принять или опровергнуть гипотезу, рассматривают некоторую величину К, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина К может быть выбрана различными способами, которые и определяют многообразие критериев согласия. При некоторых способах выбора критерия К оказывается, что он обладает весьма простыми свойствами и при достаточно большом объеме выборки практически не зависит от функции . Именно такими критериями К и пользуются в математической статистике в качестве критериев согласия.

Наиболее часто применяемый критерий согласия – критерий Пирсона или критерий ².

Пусть проведено п независимых опытов, в каждом из которых случайная величина Х приняла определенное значение. Результаты опытов сведены в k разрядов (интервалов) и оформлены в виде статистического ряда (табл.1), где – суммарная относительная частота элементов выборки, попавших в i-й разряд. Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина Х имеет закон распределения .

Таблица 1

Зная теоретический закон , можно найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый из разрядов: . Например, вероятность попадания в интервал равна

.

Проверяя согласованность теоретического и статистического распределений, исходят из расхождений между теоретическими вероятностями и полученными относительными частотами (оценками этих вероятностей) . Естественно выбрать в качестве меры расхождения нормированную сумму квадратов

. (1)

Доказано, что при распределение случайной величины (1) не зависит от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность и имеет -распределение с степенями свободы.

Число степеней свободы r определяется числом разрядов k, на которые разбиты выборочные данные, а также числом параметров s предполагаемого теоретического распределения, которые оценены по данным выборки. Например, если – нормальное распределение, то оценивают лишь 2 параметра (математическое ожидание и дисперсию). Поэтому , и . При других распределениях под s понимают число независимых условий (связей), наложенных на частоты (например, свойство нормировки и т. д.).

Определив критерий как положительную случайную величину (1), строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении истинности гипотезы было равна принятому уровню значимости :

.

Величину определяют по таблице критических точек -распределения (cм. [1]), по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы .

Таким образом, использование критерия согласия Пирсона сводится к вычислению по данным выборки наблюдаемого значения критерия и сравнению его с заранее определенной критической точкой . Если получится, что , то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀. При нулевую гипотезу отвергают.

Кроме критерия Пирсона, для оценки степени согласованности теоретического и статистического распределений применяют и ряд других критериев.

Критерий Колмогорова основан на анализе критерия

,

представляющего собой максимальное значение модуля разности между статистической и теоретической функциями распределения. А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения , при распределение величины имеет известный вид. Следовательно, при заданном уровне значимости можно определить критическую область и выполнить проверку нулевой гипотезы обычным способом.

Существует и ряд других критериев согласия, основанных на анализе специальным образом подобранных критериев, вычисляемых по выборочным данным. К ним относятся критерии Смирнова, Крамера, Мизеса и другие.

Пример. В табл. 2 приведен вариационный ряд, разбитый на 7 разрядов, и суммарные относительные частоты элементов выборки, попавших в соответствующие разряды. Определены выборочные числовые характеристики: ; (. Построить гистограмму относительных частот. При уровне значимости проверить гипотезу о принадлежности выборки нормальному распределению.

Таблица 2

Рис. 1

Зная границы интервалов, в предположении о нормальном законе распределения генеральной совокупности =  можно отыскать вероятности для всех разрядов как

, (2)

где – интеграл Лапласа. Вычисленные по формуле (2) теоретические значения вероятностей попадания в соответствующие интервалы сведены в строку табл. 2.

В соответствии с (1) определяем значение критерия

Число степеней свободы . По таблице критических точек -распределения (cм. [1; 2]) при уровне зна-чимости и числе степеней свободы находим .

Так как , то расхождение между теоретическими вероятностями и относительными частотами для рассмотренных интервалов следует признать незначимым. Следовательно, выборочные данные согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.