Материал: Д6521 Алесеев ГВ Основы научных исследований организации и планирования эксперимента

Для отыскания значений аргументов функции двух переменных, при которых функция достигает экстремума, необходимо решить систему двух уравнений

После дифференцирования (3) получаем

После элементарных преобразований получаем систему двух линейных уравнений относительно и b:

(4)

Для решения (4) по правилу Крамера находим определители

;

; .

Таким образом,

; (5)

.

Аналогичным образом можно найти параметры выборочного уравнения регрессии Х на Y, применяя метод наименьших квадратов к зависимости

,

где – выборочный коэффициент регрессии Х на Y.

Очевидно, систему уравнений (4) можно представить в другом виде. Так как

, (6)

где введено обозначение , учитывающее, что пара чисел наблюдалась раз, то систему (4) можно записать как

(7)

Из второго уравнения системы (7) находим . Подставляя это значение параметра b в исходное уравнение , получаем

. (8)

Преобразуем решение для (5) с учетом обозначений (6):

(9)

где – выборочная дисперсия. После умножения обеих частей (9) на дробь

,

где – выборочный коэффициент корреляции. Таким образом,

. (10)

Подставляя (10) в (8), получаем окончательный вид уравнения прямой линии регрессии Y на Х

. (11)

Заметим, что аналогичным образом можно найти уравнение прямой линии регрессии Х на Y, которое имеет вид

. (12)

Таким образом, уравнения регрессии (11) или (12) характеризуют линейную связь условных средних системы двух случайных величин с их возможными значениями. Параметрами зависимости являются выборочные средние и среднеквадратические отклонения случайных величин Х и Y, а также выборочный коэффициент корреляции.

Пример. Произведена экспертиза томатов. Зарегистрированы сроки хранения Х (в часах) и одновременно записаны соответствующие значения содержания группы определяющих витаминов Y (в мг). Зарегистрированные значения величин приведены в табл.1. Найти оценки для числовых характеристик системы . Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

Таблица 1

Решение. Для наглядности пары точек нанесены на гра-фик (рис. 2). Расположение точек на графике уже свидетельствует о наличии определенной зависимости (положительной корреляции) между Х и Y.

Известным способом определяются выборочные средние величин Х и Y:

Эти величины рассчитываются как средние арифметические второго и третьего столбцов (Х и Y) табл. 1.

Для определения дисперсий величин Х и Y сначала целесообразно вычислить их вторые выборочные начальные моменты:

Эти величины рассчитываются как средние арифметические пятого и шестого столбцов (и ) табл. 1.

Имея эти данные, можно определить выборочную дисперсию величин Х и Y:

Выборочные среднеквадратические отклонения соответственно равны

Определяем выборочный второй смешанный момент . Для этого находится среднее арифметическое произведений пар , которые помещены в четвертом столбце (ХY) табл.1, из которого вычитается произведение выборочных средних:

.

Рис. 2

.

Полученное достаточно боль-шое значение указывает на наличие существенной связи между Х и Y.

Подставив вычисленные значения числовых характеристик в (11), получаем уравнение регрессии Y на Х

.

После элементарных преобразований

.

Очевидным способом, используя вычисленные числовые характеристики, можно построить уравнение регрессии Х на Y.

Порядок выполнения лабораторной работы

1. По указанию преподавателя выбрать один из вариантов выборок Х и Y объема из прил., табл. П2 и П3. Открыть новый лист программы Excel и начать формировать таблицу, аналогичную табл.1 рассмотренного примера. Выборки Х и Y поместить в соседние столбцы Х и Y таблицы. При помощи «Мастера диаграмм» нанести на точечную диаграмму пары точек . Убедиться в наличии зависимости Y от Х.

2. Определить выборочные средние и как среднее ариф-метическое элементов столбцов Х и Y.

3. Сформировать столбцы XY, и , элементами которых являются произведения соответствующих элементов столбцов Х и Y, и квадраты значений элементов столбцов Х и Y.

4. Определить выборочную дисперсию величин Х и Y как

,

где и – средние арифметические соответственно столбцов и . По выборочным дисперсиям найти выборочные среднеквадратические отклонения и .

5. Определить выборочный второй смешанный момент по формуле

.

6. Вычислить значение коэффициента корреляции по формуле

.

7. Используя вычисленные выборочные числовые характеристики составить выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х (11).

Лабораторная работа № 3 критерий согласия пирсона для энергоемкости процесса получения продукта Задание