Материал: часть1_f

где – гамма функция параметра α. Для непрерывной величины гамма-функция:

Для вычисления значения гамма - функции Г(n + ), где n – целое число,  – дробное число, при 2 ≤ n ≤ 6 можно использовать более простую формулу:

.

При n  6 значения Г(n+) можно находить по формуле:

Рассмотрим пример использования распределения Вейбулла для расчета надежности.

Пример 1. Определить вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов, если его наработка на отказ описывается распределением Вейбулла с параметрами α = 2 и λ = 310^-6 ч^-1 .

Решение:

Вероятность безотказной работы равна

.

Следовательно, вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов составляет 97,05 %.

Пример 2. Случайная наработка изделия до отказа распределена по закону Вейбулла с параметрами , λ = 310^-6 ч^-1. Найти вероятность безотказной работы изделия при заданной наработке час.

Решение:

Используем формулу для расчета вероятности безотказной работы при распределении Вейбулла

.

Следовательно, вероятность безотказной работы в течение 300 часов составляет 76,34 %.

Пример 3. Для предыдущего примера найти наработку до отказа при вероятности безотказной работы 98 %.

Решение:

Используем уравнение вероятности безотказной работы

откуда ,

следовательно

= 82 часа.

4.3 Распределение Вейбулла

Распределение характеризуется двумя параметрами: λ – параметр масштаба и α – параметр формы. Оно имеет ограничение с одной стороны (0  t  ). Если параметр формы кривой  - целое число, то гамма-распределение списывает время, необходимые для появления событий (например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью . Это распределение описывает наработку системы с резервированием, время восстановления, а также распределение постепенных отказов вследствие износа.

Кривые распределения изменяют свою форму в широких пределах при изменении параметров λ и α.

Функция гамма - распределения при t >0:

F(t) ≡ 0 при t < 0.

Плотность вероятности гамма-распределения (  0,   0) при t >0:

при t < 0,

где – гамма-функция.

Вероятность безотказной работы:

Графики для функций распределения F(t) и вероятности безотказной работы P(t) приведены на рисунке 4.8. Характер зависимостей изменяется в широких пределах при изменении параметров распределения.

Графики для плотности вероятности гамма-распределения показаны на рисунке 4.9. При   1 характер зависимости для плотности распределения убывающий. При  = 1 и получается экспоненциальное распределение, при   3 кривая распределения приближается к нормальному закону распределения.

Рис. 4.8 Функция распределения и вероятность безотказной работы для гамма - распределения

Рис. 4.9 Плотность вероятности гамма - распределения для различных  и 

Математическое ожидание и дисперсия для гамма - распределения соответственно равны:

4.5 Распределение Пуассона

Используется для дискретных случайных величин. Описывает появление внезапных отказов в сложных системах и распределение времени восстановления, число отказов однотипного оборудования за определенный интервал времени и т.п.

Функция распределения Пуассона для целочисленного аргумента m = 0, 1, 2, при t  0:

при t < 0.

Плотность вероятности дискретного распределения:

где t – фиксированный интервал времени,   0.

Чем меньше значение , тем ассиметричнее распределение. Пример графика для распределения Пуассона показан на рисунке 4.10. График построен для λ = 0,5.

Рис. 4.10 Распределение Пуассона

Математическое ожидание:

Дисперсия распределения Пуассона

4.6 Расчет показателей с учетом резервирования

С позиции надежности ТО делится на элементы, которые при соединении образуют различные структуры. При этом рассматривают основное, резервное и смешанное соединение элементов.

Основное соединение элементов – это такое соединение элементов ТО, при котором отказ одного элемента приводит к отказу всего соединения (как правило, оно последовательное, но может быть и параллельным, например, в системах с обратной связью). В общем случае основное соединение элементов имеет место тогда, когда в ТО отсутствуют резервные элементы.

Если в него будут включены резервные элементы, то имеет место резервное соединение элементов. Резервирование может вестись различными способами: если ТО резервируется целиком, то имеет место общее резервирование, а если резервируются только отдельные элементы ТО, то имеет место раздельное резервирование. При резервном соединении отказ одного или нескольких резервных элементов не приводят к отказу ТО. Резервирование, при котором резервные элементы замещают основные после их отказа, называется резервирование замещением. Резервирование, при котором резервные элементы присоединены к основным в течение всего времени работы и функционируют одновременно, называется постоянным.

Наиболее распространенный вид соединений элементов технических объектов – основное. При расчете надежности ТО принимают допущение, что отказ элемента является случайным и независимым. Это допущение, если режимы работы элементов не изменяются до отказа ТО, соответствует действительности. Так как при отказе хотя бы одного элемента происходит отказ всего оборудования, интерес представляет лишь первый отказ элемента, независимо в каком состоянии будут остальные элементы. Для расчета необходимо знать показатели безопасности всех элементов ТО.

Вероятность безотказной работы ТО при основном соединении равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов p_i(t) в течение того же времени:

где n – число основных элементов.

Соответственно вероятность отказа ТО при основном соединении определяется:

Интенсивность отказов (λ) ТО при основном соединении равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов (λ_i) (4.31).

Наработка до отказа (T_осн) при основном соединении определяется:

Расчет безотказности ТО при резервном соединении элементов ведется следующим образом. Поскольку при общем резервировании отказ ТО наступит при отказе всех резервных и одного основного элемента, то при наличии резервных цепей вероятность отказа ТО будет равна произведению вероятностей отказа основной (Q_осн(t)) и резервной (Q_резi(t)) цепей:

где m – число резервных цепей.

На практике обычно вероятности отказов основных и резервных элементов оказываются одинаковыми, поскольку в качестве резервных выбираются такие же элементы, как и основные, поэтому вероятность безотказной работы, наработка до отказа и интенсивность отказов при общем резервном соединении равна: