Материал: часть1_f

Рис. 4.3. Функции нормального распределения, убыли ресурсов и плотности вероятности.

где – квантиль нормированного нормального распределения.

На рисунке 4.4 показан график нормированного нормального распределения. В таблицах приводятся значения Ф(х) для положительных квантилей х. Для отрицательных значений квантили вероятность равна

Рис. 4.4 Нормированное нормальное распределение

Нормированное нормальное распределение удобно использовать при расчетах, как вероятности случайной величины, так и для расчета значения случайной величины по ее вероятности.

Для вычисления вероятности попадания случайной величины t в интервал t₁ ÷ t₂ c использованием функции Лапласа необходимо найти

Если необходимо решить обратную задачу: определить наработку, соответствующую заданной вероятности безотказной работы, то используют квантили нормального распределения

где x – квантиль нормированного нормального распределения, который зависит от требуемой вероятности и приводится в таблицах.

Нормальному распределению подчиняется наработка на отказ многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов.

Пример 1. Наработка объекта до отказа имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 1000 часов и стандартным отклонением σ = 200 часов. Определить вероятность безотказной работы объекта в течение 400 часов.

Решение:

Вероятность безотказной работы может быть вычислена через функцию распределения:

.

Для расчета используем табулированное нормированное нормальное распределение Ф(х). Определим квантиль распределения

,

Для отрицательного значения квантили . Вероятность безотказной работы равна

.

Вычисляем значение вероятности, используя табулированную функцию Ф(х):

.

Вероятность безотказной работы объекта в течение 400 часов составляет 99,865 %.

Пример 2. Определить вероятность безотказной работы подшипника качения в течение 1500 часов, если его ресурс по износу подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 3500 часов и стандартным отклонением 1000 часов.

Решение:

Вычисляем квантиль нормированного нормального распределения

.

Вероятность безотказной работы

.

Вероятность безотказной работы подшипника в течение 1500 часов составляет 97,72 %.

Пример 3. Наработка объекта до отказа подчиняется нормальному закону распределения с параметрами µ = 1000 часов и σ = 200 часов. Определить гамма-процентный ресурс объекта при вероятности 90 %.

Решение:

Определим вероятность отказа

По таблице нормированного нормального распределения находим квантиль, соответствующий вероятности 0,1:

х = –1,281.

Используем выражение для значения случайной величины

,

следовательно, 90 % ресурс изделия равен часа.

4.2 Экспоненциальное распределение

Этот закон описывает надежность работы изделия в период его нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы вследствие износа и старения еще не проявляются и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным сочетанием различных факторов и имеют постоянную интенсивность . Экспоненциальное распределение часто называют основным законом надежности. Оно наиболее применимо для оценки безотказности объектов в период после приработки и до проявления постепенных отказов. Этот закон используется также при решении задач об обслуживании сложных систем.

Экспоненциальное распределение имеет только один параметр λ и является частным случаем распределения Вейбулла и гамма - распределения. Функция распределения случайной величины при экспоненциальном законе распределения:

плотность вероятности экспоненциального распределения:

Функция распределения описывает вероятность возникновения отказов объекта. Вероятность безотказной работы может быть определена как (4.11):

Рис. 4.5 Функция распределения и вероятность безотказной работы при экспоненциальном законе распределения

где  – интенсивность отказов.

При можно принять .

Экспоненциальное распределение иллюстрируется графиками функции распределения F(t) и вероятности безотказной работы P(t), показанными на рисунке 4.5. Это распределение справедливо для положительных значений случайной величины.

Графики плотности вероятности случайной величины при экспоненциальном распределении приведены на рисунке 4.6. График 1 построен для параметра λ = 0,0015, а график 2 – для λ = 0,001. Начальное значение на графике равно λ.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение для экспоненциального закона примерно равны между собой:

Рис. 4.6 Плотность распределения при экспоненциальном законе для λ=0,0015 (1) и λ=0,001 (2)

Равенство является существенным признаком для отнесения экспериментального распределения к теоретическому экспоненциальному распределению.

Рассмотрим примеры использования закона экспоненциального распределения для расчетов надежности.

Пример 1. Наработка на отказ сложной технической системы подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром λ = 3·10^-6 час^-1. Определить вероятность безотказной работы системы в течение 500 часов и найти среднее значение наработки на отказ.

Решение:

Определим вероятность безотказной работы при наработке T через функцию распределения экспоненциального закона

.

После подстановки конкретных значений получим

.

Следовательно, вероятность наработки 500 часов составляет 99,85 %. Среднее значение наработки может быть определено через параметр распределения λ

часа

Пример 2. Интенсивность отказов электрического элемента равна λ=3·10^-6 час^-1. Отказы подчиняются экспоненциальному закону распределения случайной величины. Найти вероятность безотказной работы элемента в течение 10000 часов.

Решение:

Используем формулу для вероятности безотказной работы при экспоненциальном распределении

,

следовательно, вероятность безотказной работы элемента P(10000) = 97,45%.

4.3 Распределение Вейбулла

С помощью этого распределения шведский инженер – математик Валодди Вейбулл описал разброс усталостной прочности стали, предела ее упругости, размера частиц копоти и др. Это распределение применяют также при описании надежности сложных технических систем.

Распределение Вейбулла является двухпараметрическим универсальным законом, так как при изменении параметров оно в пределе может описывать нормальное распределение, логарифмически нормальное распределение, экспоненциальное распределение и др. Распределение Вейбулла характеризуется параметром масштаба λ и параметром формы α.

Функция распределения для этого закона имеет вид:

функция надежности:

где  – параметр формы кривой распределения;

 – параметр масштаба.

Плотность вероятности распределения Вейбулла выражается зависимостью

Если для закона Вейбулла принят α = 1, то получим экспоненциальное распределение, которое является частным случаем распределения Вейбулла.

Графики функций распределения F(t) и вероятности безотказной работы P(t) показаны на рисунке 4.7. При увеличении параметра формы α кривая приближается к нормальному распределению.

Рис. 4.7. Распределение Вейбулла для различных параметров  и 

Графики плотности вероятности распределения Вейбулла приведены на рисунке 4.8. Влияние параметра формы на вид кривой в этом случае выражены еще резче. При увеличении параметра форма кривой от экспоненциальной зависимости стремится к характерной для нормального распределения колоколообразной кривой.

Выбором параметров масштаба λ и формы α можно в широких пределах изменять форму кривой, что позволяет использовать закон Вейбулла для самых разных случаев математического опи­сания надежности многих объектов.

Рис. 4.7. Плотность распределения Вейбулла для различных параметров  и 

Статистические параметры распределения Вейбулла вычисляются через параметры α и λ. Математическое ожидание:

стандартное отклонение: