Материал: Боженко Основы квантовой химии

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	[ra	•	•		= 0	(I.26)
∑	[ra	, pa	] +[ra , pa	]	= 0	(I.26)
a

но это выражение равно:

d	∑[ra , pa ] = 0	(I.27)
dt
	a

Это означает, что величина под знаком производной не зависит от времени:

M = ∑[ra , pa ] = const	(I.28)
a

Эта величина называется моментом импульса механической системы. Ее аддитивность очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами.

Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия, по три компоненты векторов импульса и момента импульса:

Е, Px, Py, Pz, Mx, My, Mz

Можно показать, что кинетическая энергия системы двух материальных точек равна:

	m1 + m2	•	μ	•
T =		R2 +		ra2	(I.29)
			2
2

Здесь R – радиус-вектор, проведенный из начала координат в центр масс этой системы, r – вектор, проведенный

из одной точки в другую, а μ =		m1m2		– приведенная масса.
из одной точки в другую, а μ =		m + m		– приведенная масса.
		m + m
		1	2
	Если поместить начало отсчета в центр масс, то R = 0
и T =	•
и T =	μ r 2 . Такой подход очень полезен, например, при рас-
	2

смотрении вращения двухатомной молекулы.

Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется малое колебание периодического движения около устойчивого положения равновесия, отвечающего минимуму потенциальной энергии колеблющейся системы:U(q)→min.

Отклонение от положения равновесия q=q0 приводит к возникновению силы − ∂∂Uq , стремящейся вернуть систему в положение равновесия. q0 – положение равновесия. Разло-

жение U (q) в ряд Тейлора в окрестности точки q0

дает:

U(q) = U(q ) + ∂U

(q − q ) + 1

∂2U

(q − q )2

+ . (I.30)

∂q

q q

q=q0

= 0

По определению

∂U

=0 в положении равновесия

∂q q=q0

(точка минимума энергии.)

Выбираем начало отсчета так, что U (q0 ) = 0 , тогда:

∂ 2U

(q − q

)

(I.31)

U (q) =

∂q

q=q0

Обозначим x = q-q0 – смещение из положения равно-

весия и определим k как

∂2U

(I.32)

k =

∂q

q=q0

Тогда:

U =

k x2

(I.33)

Кинетическая энергия при замене обобщенной скорости на скорость вдоль координаты х запишется:

•

• 2

m x

T =

1 m q

(I.34)

А функция Лагранжа будет такой:

• 2

k x2

L = T − U =

m x

−

(I.35)

Находим уравнение Лагранжа для гармонического ос-

циллятора:

d ∂L

− ∂L = 0

•

∂x

dt ∂ x

••

= 0

m x+ k x

(I.36)

••

x =

••

+ ω 2 x = 0

Это линейное дифференциальное уравнение второго

порядка имеет два независимых решения cosω t

и sin ω t ,

так что его общее решение x = Acosω t + B sin ω t

или

x = a cos(ω t + α )

(I.37)

Так

как

cos(ω t + α ) = cos ω t cos α − sin ω t sin α ,

сравнивая эти два выражения для x, получаем

A = a cosα ,

B = −a sinα

(I.38)

a– амплитуда колебаний,

α– начальная фаза колебаний, зависящая от выбора начала отсчета,

ω– циклическая частота

ω= 2πν , где ν – частота колебания

ν =	ω	=	1	k	(I.39)
	2π		2π	m

То есть частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий, она полностью определяется свойствами механической системы как таковой. Найдем, чему равна полная энергия Е классического гармонического осциллятора:

	• 2		k x2
E =	m x	+
	2		2

k= mω2

x = acos(ω t +α)

x = −aω sin(ω t +α )									(I.40)
E =	m a2	ω2 sin2 (ω t +α)					+	m a2	ω2 cos2 (ω t +α)
E =			2				+		2
			2						2
E =	m a2	ω2	sin2	(ω t +α ) + cos2					(ω t +α )
E =			sin2	(ω t +α ) + cos2					(ω t +α )
	2
	2
E =	m a2	ω2
E =	2
	2
Так как ω = 2πν ω 2 = 4π 2ν 2 , то:
E =	m a2 4π 2 ν 2			= 2π	2		2 2		(I.41)
E =		2		= 2π		ma		ν	(I.41)
		2

Таким образом, полная энергия Е классического гармонического осциллятора является величиной, зависящей от его собственной частоты.

II. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Квантовая механика возникла в результате того, что в целом ряде случаев классическая механика оказалась не способной к описанию явлений микромира, в частности, оптических явлений2. Появление вакуумных приборов, возникновение радиотехники и совершенствование других технических средств привело в конце XIX столетия к открытию электронов, рентгеновских лучей и радиоактивности. М. Планк при исследовании условий равновесия электромагнитного излучения и вещества в 1900 г. и А.Эйнштейн при изучении фотоэлектрических явлений в 1905г. пришли к заключению, что электромагнитное излучение помимо волновых свойств обладает и корпускулярными свойствами. Было установлено, что электромагнитное излучение поглощается и испускается отдельными порциями – квантами, которые позже были названы фотонами.

Если обозначить число электромагнитных колебаний в 2π секунд буквой ω (круговая или циклическая частота), то энергия фотона определяется формулой E = ω , где

= 1,054 10−27 эрг× с постоянная величина, имеющая размерность энергия×время. Величина h = 2π = 6,6710−27 эрг× с на-

зывается постоянной Планка. Явления, в которых постоянная Планка играет существенную роль, называются квантовыми.

Это представление о квантах света получило законченную форму после того, как А.Эйнштейн показал, что помимо энергии Е квант света обладает еще и импульсом

p = Ec , направление которого в пространстве совпадает с на-

правлением распространения света.

2 Большая часть раздела «Квантовая механика» соответствует [2,3 и 5]. 25

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных