Курсовая работа (т): Анализ стохастических колебаний прямоугольной пластины

Учитывая, что С₃²~С₁² + С₂² можно считать, что, вклад последнего члена в выражение (2.1) оценивается множителем

Пусть х = λ_х. Тогда при β_х=1 имеем . Даже в самом неблагоприятном случае (β_х= 0) получается . Таким образом, ширина области динамического краевого эффекта не превышает длины полуволны.

Рассмотрим некоторые частные случаи граничных условий, положив в основу решение (2.6) для полностью защемленной стороны Х(0)=Х′(0)=0;

Отсюда

С₂+С₃=0,

 (2.7)

,

Окончательно получаем

 (2.8)

Имея выражение (2.8), нетрудно найти изгибающие моменты в пластинке в зоне краевого эффекта. Поскольку изгибающий момент

 (2.9)

то для линий, вдоль которых

 (2.10)

Поведение прогиба и изгибающего момента в зоне краевого эффекта показано на рисунке 2.2 и 2.3. При вычислениях было принято, что β_х=1, μ=0,25.

Рисунок 2.2 - Схема поведения прогиба в зоне краевого эффекта

Рисунок 2.3 - Схема поведения изгибающего момента в зоне краевого эффекта. Штриховыми линиями показаны решения для внутренней области.

Рассмотрим более общий случай упругого защемления с коэффициентом жесткости с. Тогда:

,

функция Х (х) должна удовлетворять условиям;

X(0) = 0,

C₂+C₃=0

 (2.11)

Из условия (2.7) найдем, что

 (2.12)

При с→0 выражение (2.11) с коэффициентом (2.12) превращается в обычное решение для свободно опертой пластинки; при с→+∞ мы приходим к выражению (2.7).

Не будем останавливаться здесь на других случаях граничных условий, рассмотрение которых элементарно. В частности, можно построить решение, описывающее динамический краевой эффект вблизи подкрепляющего стержневого элемента, который сопротивляется изгибу и кручению.

Из изложенного следует, что для типичных краевых условий легко установить связь между максимальным напряжением σ в зоне краевого эффекта и амплитудой f колебаний во внутренней, области. Например, для заделанного края

 (2.13)

Это соотношение соответствует некоторой паре длин полуволн λ_х, λ_у,: или некоторой паре волновых чисел m, n. В общем случае

 (2.14)

где f_mn- обобщенные координаты, характеризующие вклад каждой формы колебаний в движение пластинки, s_mn - коэффициенты динамического краевого эффекта.

До сих пор мы рассматривали задачу об исследовании динамического краевого эффекта при собственных колебаниях, полагая длины полуволн λ_х, λ_у известными. Покажем, как могут быть найдены эти величины и попутно частоты собственных колебаний пластинки.

Рассмотрим, например, прямоугольную в плане пластинку, защемленную. по всему контуру. Наряду с функцией Х(х), рассмотрим функцию

где β= λ_х/λ_у.

Выражение

удовлетворяет всем краевым условиям на границе у = 0 и при больших у приближается к,,внутреннему” решению (2.3).

Формы собственных колебаний прямоугольной защемленной по всему контуру пластинки распадаются на четыре группы по типам симметрии. Для первого типа (симметричные в обоих направлениях формы) должно быть

,  (2.15)

для второго типа (антисимметричные в обоих направлениях формы)

,  (2.16)

два смешанных типа получим, комбинируя одно из условий из (2.15) с другим из (2.16).

Для каждого типа мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными длинами полуволн λ_х, λ_у. Найдя эти величины, легко вычислить соответствующую собственную частоту (2.4).

Этот метод применим, строго говоря, лишь при условии, что λ_х<<а, λ_у<<b.

Вычисления показывают, однако, что он дает удовлетворительные решения даже для общей формы колебаний защемленной пластинки.

Рассмотрим вначале цилиндрический. изгиб (λ_у→∞, β_х→0). Легко найдем, что

 (m=1,2,…) (2.17)

 (m=1,2,…)  (2.18)

совпадающую с хорошо известной асимптотической формулой. При m= 1 точное решение дает в формуле для частоты числовой коэффициент 4,730²=22,373, в то время как асимптотическая формула (2.18) содержит коэффициент 3,142². 1,500² = 22,207 Разница составляет менее 1 %.

Применим тот же метод к квадратной пластинке а =b. При этом особенно простое решение получается для тех форм колебаний, у которых λ_х=λ_у

Тогда уравнения (2.15) и (2.16) принимают вид

,

 (m=1,2,…)

причем нечетные волновые числа m соответствуют симметричным формам колебаний, четные - антисимметричным формам.

Собственные частоты определяются по формуле

 (m=1,2,…)  (2.19)

Рассмотрим теперь общий случай. Уравнения типа (2.15) и (2.16) легко могут быть сведены к одному уравнению, содержащему отношение β_х= λ_х/λ_у

Это уравнение получается общим для всех четырех типов форм колебаний.

(m=1,2,…)  (2.20)

где обратные тригонометрические функции понимаются в смысле главного значения. При больших m и n имеет место асимптотическая формула

 (2.21)

для квадратной защемленной пластинки вычисления были сделаны Игути, который искал решение уравнение в виде ряда, удовлетворяющего условиям на контуре, и использовал прием, близкий к вариационному. Значения коэффициентов частоты α в формуле

найденные Игути, и значения, полученные асимптотическим методом, приведены в таблице. Расхождение по этим значениями невелико.

Таблица 2.1 - Сравнение значений коэффициентов частоты по Игути и найденных асимптотическим методом

2.2 Стохастические колебания пластин

Решение (1.1) - (1.4) представляют в виде разложения по формам собственных колебаний W_mn(x,y):

 (2.22)

Функции W_mn(x,y) удовлетворяют однородное уравнение:

 (2.23)

а также краевые условия на контуре пластин. Здесь ω_mn - частоты собственных незатухающих колебаний.

Подстановка в (2.22) приводит к уравненниям:

 (2.24)

В уравнениях (2.24) введено члены, которые имеют производные f ^/_mn(t) и учитывают угасание [7,8]; коэффициенты угасания ε_mn в общем случае считаются разными [5].

Через  обозначены обобщенные силы:

 (2.25)

 - норма собственной функции W_mn(x,y). (2.26)

Соответственно [1] при ε_mn<<1 побочные элементы матрицы малые в сравнении с главными, а для остальных справедлива приближенная формула:

 (2.27)

Для вычисления собственных частот при краевых условиях жесткого защемления используется асимптотический метод.

Метод основан на представлении решений в виде сумы некоторого решения и решений, которые удовлетворяют краевым условиям. Асимптотические выражения для собственных функций находят путем склеивания решений, которые найдены для каждого края области. Погрешность такого склеивания быстро падает с ростом номера функции (волнового числа).

Придерживаясь асимптотического метода, ищут внутреннее решение в виде:

 (2.28)

где k_xm и k_yn - неизвестные волновые числа, x₀ и y₀ - фазы породного решения. Это выражение соответствует частоте:

 (2.29)

Частное решение (2.28) краевым условиям не удовлетворяет. Приближенное решение задачи ищут, рассматривая выражение (2.28) как некоторое порождающее решение, которое справедливо во внутренней области, то есть, достаточно удаленной от краев. Задача будет решена, если окажется возможным построение частных решений, каждое из которых будет удовлетворять два краевых условия на одном из краев пластины и будет приближаться к порожденному решению в меру отдаления от краев.

Решение, которое удовлетворяет краевым условиям при x=0 ищут в виде:

 (2.30)

Подстановка выражения (2.30) приводит к уравнению:

 (2.31)

 (2.32)

Мнимые корни уравнения (2.31) соответствуют порождающему решению (2.28), действительные корни - решениям, которые удовлетворяют краевым условиям. Таким образом, в пластинах всегда имеет место динамичный краевой эффект.

Это условие будет удовлетворено, если отбросить в интеграле (2.32) член, который возрастает при увеличении x:

 (2.33)

Среди членов, которые остались в (2.33), два первых полностью соответствуют порожденному решению (2.28), а первые три члена рассмотренные вместе

 (2.34)

описывают динамический эффект у приграничной зоне.

Удовлетворяя краевые условия при х = 0, имеют:

 (2.35)

Решение, которое удовлетворяет краевым условиям про х = а, ищут в виде:

  (2.36)

Определив константы в формуле (2.36), окончательно получают:

(2.37)

Решения, которые удовлетворяют краевым условиям при у = 0 и у =b и приближаются к решению во внутренней области пластинки, записываются аналогично. Таким образом, выражение для защемленной пластины имеет вид:

 (2.38)

Волновые числа k_xm и k_ym находятся путем склеивания решений, которые удовлетворяют краевые условия на противоположных сторонах контура пластины. Решения (2.31) з учетом (2.36) и (2.37), которые удовлетворяют краевым условиям при х = 0 и х = а, приближаются к внутренней области к одному и тому породному решению.

Будем требовать в соответствии с этим выполнение условия:

k_xm(x-x₀)sin k_yn(y-y₀)=±sin k_xm(a-x-x₀)sin k_yn(y-y₀)  (2.39)

Положительный знак соответствует симметричным относительно точки х=а/2 решениям. Система уравнений для определения волновых чисел имеет вид:

;

 (2.40)

Отклонение функции W_mn(x,y) от действительных колебаний, а также и погрешность определения обобщенных сил  асимптотично уменьшаются с ростом m и n.

3. Определение корреляционной функции прогиба пластины

Корреляционная функция прогиба пластины имеет вид:

 (3.1)

где  вычисляется по формуле (2.27).

В соответствии с [1] имеем:

 (3.2)

Норма собственных функций имеет вид:

 (3.3)

С ростом чисел m и n норма ν_mn приближается к ab/4.

Если подставить в (3.2) значения W_mn(x,y) соответственно с (2.38) и выполнить интегрирование, получают:

 (3.4)

 (3.5)

 (3.6)

 ( 3.7)

 (3.8)

Соотношения для g_ynm, p_ynm, l_ynm получают путем круговой замены индексов m и n, х и у, а также параметров a и b.

Некоторые вычисления по формуле (3.1) для пластин с параметрами [3] иллюстрируются графиками. Как видно, усиление краевых условий ведет к увеличению корреляции прогибов.

Рисунок 3.1 - Корреляционная функция прогиба пластины К_w(x,y,a/45,/b/2) в случае краевых условий жесткого защемления.

Предложенный подход позволяет получить в закрытом виде асимптотическое решение задачи та исследовать влияние условия внешней нагрузки, типа демпфирования.

Выводы

В работе решена задача исследования всего спектра частот при сложных граничных условиях с помощью асимптотического метода. Одно из достоинств этого метода в том, что при увеличении частот возрастает также и точность вычислений.

При этом решение выражается в виде сумы внутреннего решения и поправочных решений, которые называются динамическими краевыми эффектами. Для каждой границы необходимо строить решение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению и условиям на соответствующей границе.

Полученные решения склеивают. Благодаря этому можно получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих как внутреннее решение и краевые эффекты.

Асимптотическое решение может быть построено для всей окрестности углов и ребер.

Получены аналитические выражения корреляционной функции прогиба пластины, стохастических колебаний пластины.

математический прямоугольный пластина асимптотический

Литература

1. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. - М.: Наука, 1979. - 46 с.

. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. /под общей редакцией И.А. Биргера и Я.Г. Пановко/, Т.З. - М.: «Машинострой», 1968. - 310 с.

. Диментбер М.Ф. Вынужденные колебания пластин при нагрузке, представляющей случайный процесс. //Инженерный журнал. - 1961 г. Т.1 вып.2

. Болотин В.В. Динамический краевой эффект. /Инженерный сборник/, - М.: Стройиздат. 1980 г.

. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - М.: Стройиздат. 1971. - 256 с.

. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - М.: Стройиздат. 1982. - 352 с.

. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. - М.: Физматлит. 1960. - 193 с.

. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях механических систем. - М.: Гостстройиздат. 1960. - 129 с.

. Тимошенко С.П. и Войновский - Кригер С. Пластины и оболочки. - М.: Наука. 1966. - 635 с.

. Физический энциклопедический словарь/под ред. А.М. Прохорова. - М.: Советская энциклопедия, 1983. - 724 с.

. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. - М.: Наука, 1985. - 69 с.

. Бендат Дж. Пирсон А. Изменение и анализ случайных данных. - М.: Мир, 1971. - 408 с.

. Бендат Дж. Пирсон А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989. - 137 с.

. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. - М.: Физматлит. 1960. - 883 с