Курсовая работа (т): Анализ стохастических колебаний прямоугольной пластины

Анализ стохастических колебаний прямоугольной пластины

Введение

Поведение конструкций, подверженных воздействию статистических и динамических нагрузок, зависит от ряда факторов случайной природы. Эти факторы по своему происхождению могут быть разбиты на две группы.

К одной группе относятся геометрические и физические параметры самой конструкции: случайные отклонения от идеальной геометрической формы, разброс способов осуществления краевых условий, разброс упругих и прочностных характеристик материала и т.д.

Ко второй группе принадлежат случайные факторы, характеризующие нагрузку и другие внешние условия эксплуатации.

Перечисленные факторы в той или иной мере присущи любой конструкции. Но вопросы исследования методов теории случайных колебаний интенсивнее всего разрабатываются в теории пластин и оболочек [1,6].

Этому можно дать два объяснения. Во-первых, тонкостенные конструкции особенно чувствительны к малым изменениям начальной формы, малым вариациям краевых условий и т.д. Во-вторых, тонкостенные конструкции являются наиболее интересными в современной технике объектами для приложения методов теории случайных процессов. В качестве примера достаточно указать на элементы обшивки летательных аппаратов, испытывающих случайную нагрузку под действием атмосферной турбулентности, пульсаций в турбулентном пограничном слое, акустического излучения от работающих авиадвигателей, метеоритной пыли и т.д.

Хорошо известно, что пластинки обладают более густым спектром частот собственных колебаний, чем стержни и стержневые системы. Поэтому, если частоты возбуждения достаточно велики, то так называемая отстройка от резонанса становятся практически неосуществимой. Положение усугубляется, когда возбуждение имеет сплошной спектр, как, например, в случае нагрузок, порождаемых атмосферной турбулентностью или акустическим излучением работающих двигателей. Одновременно может возбуждаться группа форм колебаний, которым соответствуют различные волновые числа. В связи с этим задача определения напряжений и об оценке усталостной прочности пластинок, колеблющихся с различными частотами спектра, представляет значительный практический интерес.

Если волновые числа достаточно велики, то для форм колебаний могут быть построены асимптотические выражения. Эти выражения пригодны всюду, кроме областей, непосредственно примыкающих к границе контура или к другим линиям, на которых задаются граничные условия; граничным условиям асимптотические выражения, вообще говоря, не удовлетворяют. Между тем опыт показывает, что колеблющиеся пластинки обычно разрушаются от усталости у заделанных кромок, у подкрепляющих элементов и в других аналогичных местах. Поэтом у возникает мысль об отыскании таких решений, которые удовлетворяли бы всем граничным условиям на контуре, и стремились бы к асимптотическим выражениям для форм колебаний, при удалении во внутреннюю области. Найденные таким образом решения для пограничной области во многом напоминают решения, описывающие простой краевой эффект в оболочках. При статическом расчете оболочек ищут такие решения для пограничной зоны, которые удовлетворяют всем граничным условиям на примыкающем контуре и асимптотически стремятся к безмоментному решению по мере удаления от границы контура. Здесь требуется неограниченное приближение к асимптотическим выражениям для форм собственных колебаний. По аналогии с краевым эффектом в оболочках, отклонение от асимптотических представлений для форм колебаний, наблюдающееся в пограничной области, будем называть динамическим краевым эффектом [4].

Расчленяя решение уравнения колебаний пластинки на асимптотическое решение во внутренней области, и на решение, описывающее динамический краевой эффект, получаем метод динамического расчета пластинок, особенно эффективный в случае пластинок прямоугольных в контуре и, произвольно закрепленных по контуру. При рассмотрении вынужденных колебаний, которым соответствуют достаточно большие волновые числа, предлагается использовать разложения в ряды по асимптотическим выражениям для форм собственных колебаний.

Найдя коэффициенты этого ряда и используя связь между решением во внутренней области и динамическим краевым эффектом, легко вычислить напряжения в пограничной зоне. Хотя метод является обоснованным лишь для достаточно больших волновых чисел, в ряде случаев он дает вполне удовлетворительное решение и для низших форм колебаний. Так, он оказался весьма эффективным средством для вычисления всего спектра частот собственных колебаний прямоугольной пластинки, жестко или упруго защемленной по контуру.

В курсовой работе предполагается подход к анализу стохастических колебаний прямоугольной пластины, жестко защемленной со всех сторон и находящейся под действием поперечной нагрузки типа «белый шум».

1. Постановка задачи для прямоугольной пластины

1.1 Математическая постановка задачи

Объектом исследования является тонкая, изотропная однослойная прямоугольная пластина со сторонами a, b и постоянной толщиной h, находящаяся под действием случайной нагрузки.

Уравнение вынужденных поперечных колебаний имеет вид:

 (1.1)

Граничные условия пластины, жестко заделаной по внешнему контуру:

 при х = 0, а

 при у = 0, b (1.2)

Начальные условия:

w=0  при t=0 (1.3)

Внешняя нагрузка представляет собой пространственно-временной ”белый шум” с характеристиками:

математическое ожидание

 (1.4)

Спектральная плотность:

 (1.5)

где - дельта функции; s - интенсивность белого шума.

Ставится задача вычисления корреляционной функции обобщенных координат с последующим определением корреляционной функции прогиба пластины.

.2 Случайная нагрузка и методы ее описания

Имеется широкий круг проблем строительной механики, применение статистических методов к которым вполне оправдано и, более того, для которых статистические методы являются наиболее адекватным средством исследования. Поэтому целесообразно ввести такие понятия как случайная величина нагрузки и случайный процесс нагружения.

Под нагрузками понимаются не только внешние силы, но и внешние кинематические воздействия - заданные перемещения системы или ее отдельных точек, а также тепловые воздействия, излучения и т.п.

Будем различать два основных класса случайных нагрузок - нагрузки, задаваемые в виде случайных функций времени, и нагрузки, задаваемые в виде случайных функций времени и координат.

Описание первого класса нагрузок осуществляется методами теории случайных процессов, для описания второго класса требуется привлечение теории случайных полей [1,11,14].

Функции, значения которых при фиксированных значениях аргументов являются случайными величинами, называется случайными функциями. В прикладных задачах аргументом случайных функций часто является время; случайные функции времени называют обычно случайными процессами. Пульсации скорости и давления в турбулентном потоке, шум реактивного двигателя, толчки, испытываемые транспортным средством при движении по неровному пути, представляют собой случайные процессы.

Пусть внешнее воздействие характеризуется элементами q из пространства Q, а поведение системы u из пространства U. Математическая природа элементов обоих пространств, вообще говоря, произвольна. Это могут быть числа, векторы, тензоры, функции одной или нескольких переменных и т.п.

Вместо полного вероятностного описания путем задания меры в функциональных пространствах нередко используется частичное описание. При этом широко применяются интегралы по вероятностной мере: математические описания, дисперсии и другие моменты от случайных величин, моментные и корреляционные функции от случайных процессов. Вероятность случайного события интерпретируется как объективная мера, эквивалентная эмпирической частоте.

Для получения вероятностных характеристик системы необходимо иметь соответствующую статистическую информацию. Но в распоряжении экспериментатора очень редко находится количество экземпляров, достаточное для того, чтобы делать надежные статистические выводы, К счастью многие вероятностные свойства систем обладают эргодичностью. Эти свойства проявляются не только в ансамбле реализаций, но и во времени и в пространстве. Такие вероятностные свойства можно изучать, наблюдая за поведением одного экземпляра во времени или изучая, как эти свойства меняются при переходе от одной точки к другой.

Корреляционные методы основаны на изучении связей между некоторыми характеристиками входных и выходных процессов - между корреляционными или между соответствующими родственными им функциями. Функции, описывающие статистическую связь (кореляцию) между значениями в разные моменты времени называются корреляционными функциями.

Пусть q₁(t), q₂(t) … q_n(t) - некоторые случайные функции времени. Будем обозначать < > осреднение по ансамблю реализаций.

Рассмотрим характеристики процесса, образуемые по следующим правилам:

K_jk=, _jkm=,

,

(j, k, m= 1,2,…n) (1.6)

Характеристики K_jk, K_jkm и т.д. называются корреляционными функциями второго, третьего и т.д. порядков. для исчерпывающего описания процесса необходимо знать полную систему корреляционных функций.

Значительная часть информации о случайном процессе все же заключена в средних < q(t) > и корреляционных функциях второго порядка

В ряде задач (например, в тех задачах, где заранее известно, что обобщенные координаты подчиняются нормальному распределению) указанных характеристик достаточно для построения совместных плотностей вероятностей и последующего решения вопросов надежности.

Описание случайного процесса упрощается, если он является стационарным, т.е. если все его статистические характеристики остаются неизменными во времени.

Средние значения для стационарного случайного процесса постоянны, а корреляционные функции зависят лишь от разностей t₁-t₂, t₁- t₃ и т.д. В частности, корреляционные функции второго порядка выражаются по формулам:

K_jk(τ)= (1.7)

Почти все представляющие интерес стационарные случайные нагрузки обладают также свойством эргодичности. Для эргодических случайных процессов осреднение по ансамблю реализаций может быть заменено осреднением по времени.

В частности,

K_jk(τ)= (1.8)

Введем также представление Фурье для корреляционной функции

K_jk(τ)= (1.9)

Функции S_jk(τw) - будем называть совместными спектральными плотностями. Если процесс содержит дискретные составляющие, то спектральные плоскости будут иметь особенности типа дельта функций. Пусть одномерный процесс состоит из стационарной последовательности некоррелированных импульсов, продолжительность которых стремится к нулю, а величина остается конечной. Корреляционная функция такого процесса выражается через дельта функцию δ(t), а спектральная плотность постоянна на всей частоте оси:

K(τ)=s^.δ(τ), S(ω)= (1.10)

Такой процесс называется дельта-коррелированным, а постоянная s в формулах (1.10) интенсивностью белого шума. Корреляционная функция белого шума принимает в нуле бесконечное значение, т.е. дисперсии процесса не существует. «Белый» шум представляет собой все же чрезмерную абстракцию, поскольку его полная мощность, пропорциональная интегралу

 (1.11)

оказывается бесконечно большой. Чтобы мощность процесса оставалась конечной, вводится ограничивающая частота ω.

Более реальной моделью будет усеченный «белый» шум спектральная плотность которого постоянна на отрезке и равна нулю вне этого отрезка.

2. Асимптотический метод исследования задач о колебаниях упругих прямоугольных пластин

.1 Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок

Рассмотрим собственные колебания прямоугольной в плане упругой пластинки со сторонами а и b и постоянной толщиной h (Рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 - Схема колебаний прямоугольной пластины с жестким защемлением.

Условия на контуре пластины будем пока считать произвольными. Уравнение колебаний пластинки имеет вид [4,9,10]

(2.1)

где ω(х, у, t) - нормальный прогиб, D - цилиндрическая жесткость ρ - плотность материала пластинки.

Подстановкой

где ω - частота собственных колебаний, уравнение (2.1) приводится к виду:

 (2.2)

Рассмотрим выражение

 (2.3)

где f, х₀, у₀, λ_x, λ_y - некоторые константы. Это выражение удовлетворяет уравнению (2.2) и соответствует частоте

 (2.4)

но не удовлетворяет граничным условиям. Для подчинения этим условиям мы располагаем лишь чётырьмя константами: f, х₀, у₀, λ_x, λ_y, так как f определяется из начальных условий. Как мы увидим ниже, при определенном выборе этих констант выражение (2.3) можно рассматривать как асимптотическое решение краевой задачи, соответствующее заданным условиям на контуре и справедливым при λ_x‹‹а, λ_y‹‹b в области, достаточно удаленной от контура пластинки.

Решение вблизи границы х = 0 будем искать в виде:

 (2.5)

Подстановка в уравнение (2.3) дает

Соответствующее характеристическое уравнение

имёет два чисто мнимых и два действительных корня

,

 (2.6)

Общий интеграл уравнения (2.5) имеет вид

В этом интеграле последний член, неограниченно возрастающий с увеличением х, должен быть отброшен. Первые два оставшихся члена полностью соответствуют асимптотическому представлению (2.3) для внутрённей области пластинки; первые три члена, взятые вместе, описывают динамический краевой эффект в пограничной зоне:

Пользуясь выражением (2.6) нетрудно оцёнить ширину области динамического краевого эффекта.