Статья: Аналитическая оценка оптимального соотношения толщины ножа и решетки шнекового мясоизмельчителя для повышения качества вырабатываемого фарша и снижения скорости износа режущей пары

Как показано в работе [3], для гарантированного обеспечения равенства деформаций прогиба выходной измельчительной решетки и лезвия ножа, следует обеспечить эквидистантность их изогнутых срединных поверхностей. В исследовании [5] разработана математическая модель прогиба перфорированной решётки, нагруженной равномерно распределённой по её поверхности механической нагрузкой и температурным изгибающим моментом, равномерно распределенным по периферийной внешней, свободной от связей кольцевой границе решётки и линейно распределённым по её толщине. Однако, как показывают материалы работы [6], нагрузка, распределенная по кольцевой поверхности измельчительной решетки не является равномерной. В названном исследовании нагрузка на режущий узел шнекового измельчителя аппроксимирована линейно убывающей нагрузкой по радиусу выходной решетки.

Задача определения оптимальной зависимости толщины лезвия ножа от толщины решетки в условиях параболически изменяющейся нагрузки сводится на первом этапе к определению соответствующего закона распределения давления экструдируемого материала по радиусу измельчительной решетки.

Оценка величины давления экструдируемого материала в центре решетки Р_ц (в условиях отсутствия шлюзования) осуществлена в рамках работы [7]:

P_ц=. (1)

Здесь:

P_ц - давление в центральной части кольцевой измельчительной решетки, Па;

Р_уд - удельное усилие резания измельчаемого в экструдере материала, н/м;

d_о - диаметр отверстий измельчительной выходной решетки, м;

н_м - коэффициент Пуассона экструдируемого материала,

f - коэффициент трения скольжения материала по рабочим поверхностям;

_р - толщина выходной измельчительной решетки, м.

На внешней границе измельчительной решётки (на ее периферии) устанавливается давление Р_ш шлюзования пищевого материала сквозь кольцевой зазор о между поверхностью гребней буртиков противовращения, выполненных на внутренней поверхности корпуса экструдера и наружной поверхностью гребней винтового шнека. Схема действия сил и параметры кольцевого зазора представлены на рисунке 5. Давление шлюзования Р_ш под действием мясного сырья определяется из уравнения равновесия проекций сил, действующих на экструдируемый материал, продавливаемый сквозь кольцевой зазор высотой о и элементарной длиной dl:

Р_ш о dl = Р_уд dl. (2)

Таким образом, исходя из уравнения (2), величина давления мясного материала на внешней периферийной границе кольцевой решётки составит значение:

Р_ш = Р_уд/о. (3)

Рисунок 5 - Схема действия сил и параметры кольцевого зазора, определяющие давление шлюзования мясного сырья;

1 - кольцевой цилиндр материала в зоне шлюзования (выше сечения А - А нагрузки условно не показаны); 2 - элемент кольцевого цилиндра; 3 - удельное усилие резания материала Р_уд в зазоре шлюзования, Н/м; 4 - давление Р_ш на выделенный элемент материала (о*dl) в зазоре шлюзования, Па; 5 - уравнение равновесия материала в проекции на ось ОХ

Как показано в работе [6], из анализа полученных нами соотношений (1) и (3) следует, что единственный случай формирования равномерно распределенной нагрузки под действием давления мясного сырья по площади кольцевой измельчительной решетки обеспечивается при условии равенства давлений на центральной и наружной периферийных поверхностях, исходя из чего можно получить соответствующее этому условию соотношение:

о = (d_о/4) - н_м f _р/2[1- н_м(1- f)]

В реальных условиях технологии изготовления элементов экструдера или волчка и точности литейного производства, величина зазора о существенно (в полтора-два раза) превышает полученное значение, поэтому давление мясного сырья на внешнюю периферийную часть кольцевой решетки, в общем случае, в соответствии с выражением (3), в полтора-два и более раза меньше, чем на центральную область (Р_ш <Р_ц) [6, 8].

Определив краевые значения кольцевых давлений Р_ц и Р_ш на выходную измельчительную решетку, можем записать соответствующее параболическое аппроксимирующее уравнение распределения этой нагрузки под действием давления мясного сырья по радиусу решетки «r» (в форме уравнения для параболоида вращения). Аксонометрическая схема воздействия на перфорированную выходную измельчительную решетку нагрузкой мясного сырья, параболически распределенной по радиусу, приведена на рисунке 6.

Рисунок 6 - Аксонометрическая схема нагружения кольцевой измельчительной решетки экструдера нагрузкой давления мясного сырья, параболически распределенной по радиусу

1 - уравнение нагрузки в форме параболоида вращения на решетку волчка; 2 - отверстия диаметром d₀, перфорирующие решетку; 3 - выходная измельчительная решетка; 4 - посадочное (установочное) отверстие диаметром d; R - радиус решетки; h - толщина решетки; r-текущее значение радиуса решетки

Уравнение параболически распределенной нагрузки мясного сырья по радиусу выходной измельчительной решетки в общем случае записывается в виде:

q(r) = a₁r² + a₂r + a₃.

Аналитическое выражение для определения неизвестных коэффициентов a₁, a₂, a₃ этой внешней нагрузки q(r) можно найти из граничных условий:

q(0) = Р_ц; q(R) = Р_ш; q(-R) = Р_ш.

Элементарные вычисления дают:

a₃ = Р_ц; a₂ = 0; a₁ = - .

Таким образом, уравнение параболически распределенной нагрузки приобретает вид:

q(r) = Р_ц - r².

Для сокращения записей введем новые обозначения:

= kr², (4)

Где:

q_c = Р_ц,

k = .

После нахождения аналитической зависимости величины внешней нагрузки под действием давления мясного сырья от радиуса в форме уравнения второй степени (4), представляется возможным решение задачи определения прогиба кольцевой перфорированной решетки под ее воздействием.

3. Допущения, принятые при математическом моделировании процесса изгибной деформации выходной измельчительной решетки под действием давления мясного сырья

Выходная измельчительная решетка экструдера представляет собой кольцевую перфорированную пластинку диаметром D=2R и толщиной _р. Расчет такой пластинки будем осуществлять в соответствии с теорией, основанной на трех гипотезах, предложенных Кирхгофом для тонкой пластинки [9-11], так как ее геометрические и деформационные параметры удовлетворяют требуемым для этого условиям:

, а также: w.

Здесь:

W - величина прогиба пластинки, м;

- максимальное значение величины прогиба пластинки, м;

R = D/2 - максимальное значение радиуса кольцевой пластинки, м;

r - текущее значение радиуса кольцевой пластинки, м.

Следует учесть, что круглая перфорированная пластинка считается кольцевой при условии:

[(R - b)/R]1,

где: b = d/2 - радиус центрального отверстия пластинки, м.

Ориентировочно, для реальных конструкций экструдеров характерны следующие пропорции R=0,03 m, b=0,004 m, (m-коэффициент масштаба), поэтому [(R - b)/R] = 0,8671. Так как исходное условие не выполняется, то в рассматриваемом случае круглую перфорированную пластинку можно считать перфорированной сплошной, что существенно упрощает решение задачи определения ее прогиба. При этом влияние перфорирующих отверстий диаметром d0 на прогибы пластинки под действием давления мясного сырья учитывается при вычислении значения ее цилиндрической жесткости. нож решетка шнековый измельчитель мясной

4. Построение уравнения изогнутой срединной поверхности сплошной круглой перфорированной пластинки под действием нагрузки, параболически распределенной по радиусу, в условиях жесткой заделки во внутренней кольцевой части центрального отверстия

Поставленную задачу будем решать методом прямого интегрирования известного неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка (5) для прогиба пластинки, имеющего следующий общий вид [12, 13]

,(5)(5)

где Q - перерезывающая сила, приходящаяся на единицу длины цилиндрического сечения радиуса «r», Н/м;

D_п - цилиндрическая жесткость сплошной пластинки (Н•м), определяемая известным соотношением (6)

(6)(6)

При количественной оценке полученных математических моделей изгиба пластинки под действием давления мясного сырья будем пользоваться уточненным значением ее цилиндрической жесткости (7), учитывающим влияние на величину выражения (6) перфорированных отверстий

, (7)

где n_r - количество отверстий в сечении перфорированной круглой кольцевой пластины (решетки);

d_о - диаметр перфорирующих отверстий пластинки, м;

E - модуль продольной упругости материала пластинки, Па;

н - коэффициент Пуассона материала пластинки (решетки);

_р - толщина пластинки (_р h), м.

Для пластины с внешней распределенной по площади нагрузкой q(r) можем получить значение Q(r) из уравнения равновесия

. (7)

Таким образом, с учетом осе-симметричности внешней нагрузки q(r) и соотношений (5) и (6) или (7), дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности сплошной круглой пластинки удобнее всего для интегрирования записать в виде

(8)

Аналитическое выражение для внешней нагрузки от давления мясного сырья q(r) на пластинку можно представить в виде

.

Вводя новые обозначения для удобства записей, получим

(9)(9)

где ,

.

С учетом соотношения (9), уравнение (8) принимает вид

.

После интегрирования правой части, получаем

r. (10)

Разделив обе части соотношения (10) на r, и интегрируя полученное уравнение первый раз, запишем

(11)

Умножив обе части соотношения (11) на r, и интегрируя его второй раз, получим

(12)

Разделив обе части на r, и интегрируя соотношение (12) третий раз, запишем выражение для W в виде

(13)

Из физических условий ограниченности прогибов W очевидно, что С₂ = 0. Тогда уравнение (13) примет вид

(14)

Из граничного условия равенства нулю прогиба пластинки в ее центре следует, что С₃ = 0. Тогда соотношение (14) упростится

. (15)

Неопределенный коэффициент С₁ в уравнении (15) определим из граничного условия равенства нулю внутреннего изгибающего момента по внешнему окружному (тангенциальному) сечению пластинки: M_r(R) = 0.

Учитывая зависимость M_r от r, в соответствии с работами [10-13], запишем

(16)

где н - коэффициент Пуассона материала пластинки.

При и , из соотношения (16) следует

(17)

Дифференцируя соотношение (15) дважды, получаем

(18)

(19)

Подставляя выражения (18) и (19) в уравнение (17), запишем

. (20)

Решая полученное уравнение (20) относительно С₁, при r = R, получаем

(21)

Подставляя полученное выражение (21) в уравнение (15), получаем уравнение изогнутой срединной поверхности сплошной круглой перфорированной пластинки под действием нагрузки мясного сырья, параболически распределенной по радиусу, в условиях жесткой заделки ее центральной части

(22)

В этом случае максимальное значение прогиба перфорированной решетки по соотношению (22) достигает при и составляет величину

(23)

Приведя подобные члены, упростим полученное выражение (23) до вида

. (24)

После подстановки в уравнение (24) соотношения (6), а также значений для q_c и k из экспликации к соотношению (4), получим

. (25)

Следующим этапом решения поставленной задачи является определение прогиба лезвия ножа под действием нагрузки мясного сырья, параболически распределенной по его длине.

5. Решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа под действием нагрузки мясного сырья, параболически распределенной по его длине, в условиях консольной жесткой заделки в центральной части решетки

Проблема минимизации контактных напряжений элементов пары нож-решетка, и снижения таким образом скорости их износа, а также качества мясного фарша, вызывает необходимость обеспечения равенства прогибов лезвий ножа и перфорированной решетки. Таким образом, актуальной задачей настоящего раздела статьи является корректная запись и решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа как консольной, жестко заделанной одной короткой стороной прямоугольной пластины, находящейся под действием нагружения давлением мясного сырья, параболически распределенного по ее длине.

Расчетная схема сформулированной задачи представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 - Схема нагружения пластинчатого ножа нагрузкой, параболически распределенной по его длине «r»;

1 - лезвие ножа; Мз - момент в заделке; J_х - осевой момент инерции прямоугольного сечения

На рисунке 8 (схема 1) приведена эквивалентная плоская расчетная картина нагружения ножа, учитывающая постоянство распределенной нагрузки мясного сырья по ширине лезвия.