Материал: Алгебра_кортежей

формулу получим:

P( x2(Q)) = 0.6864.

Опишем систему, где события заданы пересекающимися интервалами. Пример 5.2. Система задана в пространстве X Y, где атрибуты

представлены в виде интервалов, при этом X = [0, 7] и Y = [0, 5]. Заданы также плотности распределения вероятностей f1(x, d1, e1) и f2(y, d2, e2) на атрибутах, где d1, e1, d2, e2 – параметры распределений. В этой системе задано составное событие в виде АК-объекта

{a1} {b1} R[XY] = {a2,a4} {b2} ,

{a3} {b3}

где ai, bj – интервалы, заданные в табл. 5.2:

Необходимо определить последовательность расчетов для вычисления вероятности событий R и y(R).

Чтобы решить задачу, достаточно использовать только открытые интервалы. Для элементаризации системы построим возрастающие ряды

Соответственно:

a1 = {r1, r2}; a2 = {r2, r3}; a3 = {r4, r5}; a4 = {r5, r6}; b1 = {q1, q2}; b2 = {q2, q3}; b3 = {q3, q4}.

Тогда после подстановки найдем:

Для каждого кванта ri или qj вычислим соответствующую вероятность. Например,

P(r3) = 3,4 f1 (x,d1,e1 ).

2,8

Теперь можно приступить к ортогонализации соответствующих сложных событий. Для события R вычислим R и, после преобразования R в ортогональную C-систему, найдем P(R) = 1 – P(R).

Подставляя вероятности квантов и используя теоремы 5.1 и 5.2, имеем:

P(R) = 1 – P(R) = 1 – ((P(r3) + P(r4) + P(r5) + P(r6) + P(r7))P(q1) + (P(r4) + + P(r7))P(q2) + (P(r1) + P(r7))P(q3) + (P(r1) + P(r2) + P(r3) + P(r6) + P(r7))P(q4)).

Далее, вычисляем:

{r3,r4 ,r5 ,r6 ,r7}

y(R) = –Y(R[XY]) = {r1,r4 ,r7} = {r7}.{r1,r2 ,r3,r6 ,r7}

Отсюда P( y(R)) = P(r7).

В данном примере сравнительно легко непосредственно преобразовать C-систему R в ортогональную, используя то обстоятельство, что она

представляет бинарное отношение и имеет в атрибуте Y сравнительно немного

172

аксиоматику вероятности, предложенную А.Н. Колмогоровым [Колмогоров, 1972], в которой алгебра событий, погруженных в вероятностную меру, соответствует алгебре множеств. Например, для событий, представленных множествами A и B, вероятностная мера их объединения вычисляется по формуле:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

Таким образом, для точного вычисления вероятности события (A B) помимо вероятностей P(A) и P(B) необходимо знать вероятность P(A B), в рамках некоторых ограничений (в частности, P(A B) min(P(A), P(B))) не зависящую от P(A) и P(B). Если при этом A B , то события A и B зависимы. Но когда A и B являются не множествами, а разными логическими переменными исчисления высказываний, то вероятность дизъюнкции этих событий вычисляется по формуле:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B),

для вычисления которой достаточно задать только вероятность событий A и B. Возникает вопрос: почему для логических соотношений имеет место другая методика расчета вероятности, хотя многим представляется, что алгебра множеств и булева алгебра изоморфны? Ответ на него оказывается ключевым при совмещении понятий "логика" и "вероятность". Дело в том, что в классической логике элементарные события, соответствующие разным логическим переменным, несовместимы, потому что любая логическая формула, содержащая n свободных переменных, изоморфна некоторому n-местному отношению, и события, соответствующие различающимся переменным, принадлежат разным атрибутам. Другими словами, логические переменные могут быть зависимыми, но не изначально, а только потому, что они содержатся в некоторой логической формуле, которая и определяет

зависимость между ними.

Абсурдность (с точки зрения математической логики) иного подхода видна из следующего примера, который иногда приводится в работах по вероятностной логике: для логических переменных (но не формул!) X и Y даются вероятности P(X), P(Y) и P(X Y), причем последняя вероятность не обязательно равна произведению предыдущих.

Значит, при погружении логических систем в вероятностное пространство

174