Материал: Алгебра_кортежей

Формулировка теоремы

Теорема П1.10. Дополнение D-системы есть C-система той же размерности, в которой каждая компонента равна дополнению соответствующей компоненты в исходной D-системе.

Теорема П1.11. ]P1 Q1 P2 Q2 … Pn Qn[ P Q,

причем равенство возможно лишь в двух случаях:

(iii)P Q или Q P;

(iv)Pi = Qi для всех соответствующих пар компонент, за исключением одной пары.

Теорема П1.12. P Q, если и только если Pi Qi для всех i = 1, 2, …, n.

Теорема П1.13. P Q = ]P1 Q1 P2 Q2 … Pn Qn[.

Теорема П1.14. Пересечение двух однотипных D-систем равно D-системе, содержащей все D-кортежи операндов.

Теорема П1.15. Объединение D-систем P и Q эквивалентно D-системе, состоящей из всех не равных универсуму D-кортежей, образующихся при выполнении операций объединения каждого D-кортежа из P с каждым D-кортежем из Q.

Теорема П1.16. Для C-кортежа P = [P1 P2 … Pn] и

D-кортежа Q = ]Q1 Q2 … Qn[ справедливо P Q, если и только если по крайней мере для одного i соблюдается Pi Qi.

Теорема П1.17. Для C-кортежа (или D-кортежа) P и D-системы Q справедливо P Q, если и только если для каждого D-кортежа Qj из Q выполняется P Qj.

Теорема П1.18. Для C-системы P и D-системы Q справедливо P Q, если и только если каждый C-кортеж из P включен в каждый D-кортеж из Q.

№теоремы в тексте,

№страницы

2.10., 80

2.11., 80

2.12., 81

2.13., 81

2.14., 81

2.15., 81

2.16., 82

2.17., 82

2.18., 82

Формулировка теоремы

Теорема П1.19. Каждый C-кортеж (D-кортеж) P преобразуется в эквивалентную ему диагональную D-систему

пересечению m C-систем, полученных с помощью преобразования каждого D-кортежа из P в C-систему.

Теорема П1.21. C-система P, содержащая m C-кортежей, эквивалентна D-системе, которая равна объединению m D-систем, полученных с помощью преобразования каждого C-кортежа из P в D-систему.

Теорема П1.22. Добавление нового фиктивного атрибута в D-кортеж или в D-систему соответствует правилу обобщения.

Теорема П1.23. Пусть R[…X…] – C-система, у которой отсутствуют C-кортежи с пустыми компонентами в атрибуте X. Тогда для соответствующего этой C-системе предиката P(…, x, …) результат операции –X(R) моделирует формулу

x(P).

Теорема П1.24. Пусть R[…X…] – D-система, у которой отсутствуют D-кортежи с компонентами “ ” в атрибуте X. Тогда для соответствующего этой D-системе предиката P(…, x, …) результат операции –X(R) моделирует формулу

x(P).

Теорема П1.25. D-кортеж вида ]Q1 Q2 ... Qm-1 Qm[, где Qi

– произвольные компоненты, преобразуется в эквивалентную ему ортогональную C-систему:

227

№теоремы в тексте,

№страницы

2.19., 83

2.20., 83

2.21., 84

2.22., 97

2.23., 97

2.24., 98

3.1., 102

Формулировка теоремы

Теорема П1.26. Если P и Q – ортогональные C-системы, то пересечение этих C-систем, вычисленное в соответствии с теоремой 2.5, либо пусто, либо состоит из одного C-кортежа, либо представляет собой ортогональную C-систему.

Теорема П1.27. При разбиении матрицы D-системы T размерности M N на R вертикальных блоков (R < N) справедливо равенство

M

T = ( Dij )

k S(R,M ) i 1

где Dij – D-кортеж, являющийся подстрокой i-ой строки, взятой из j-го блока матрицы T, а индекс j в подформуле

M

Dij пробегает все значения соответствующего элемента

i 1

k S(R, M).

Теорема П1.28. Если D-система Q содержит монотонный блок, то она непуста и Cint Q.

Теорема П1.29. Если в D-системе Q имеется бесконфликтный блок, то Q непуста, если и только если при разложении ее в блочную матрицу T непуста D-система, представленная блоком T22.

Теорема П1.30. Если в C-системе Q существует атрибут X, такой что пересечение всех C-кортежей в проекции –X(Q) непусто и равно C-кортежу C, то при добавлении в C атрибута X с компонентой, равной объединению всех компонент этого атрибута в Q, образуется C-кортеж C1, такой что C1 Q.

Теорема П1.31. Если для логических формул A и B имеется интерпретация в виде множеств SA и SB, то общезначимость импликации A B равносильна выполнению отношения SA SB.

228

№теоремы в тексте,

№страницы

3.2., 103

3.3., 108

3.4., 110

3.5., 111

3.6., 122

4.1., 130

Формулировка теоремы

Теорема П1.32. Пусть даны АК-объекты F1, ..., Fn и G. Тогда G есть следствие F1, ..., Fn тогда и только тогда, когда

(F1 G ... G Fn) и (F1 G ... G Fn) G.

Теорема П1.33. Пусть даны АК-объекты F1, ..., Fn и G. Тогда G есть следствие F1, ..., Fn тогда и только тогда, когда

(F1 G ... G Fn) и F1 G ... G Fn G G = .

Теорема П1.34. Если каждая компонента C-кортежа имеет конечную меру, то мерой C-кортежа является произведение мер его компонент.

Теорема П1.35. Мера ортогональной C-системы равна сумме мер содержащихся в ней C-кортежей.

Теорема П1.36. Если для логической формулы F осуществима элементаризация, то ее представление S(F) в виде структуры АК в вероятностном пространстве есть точное решение уравнения регрессии.

№теоремы в тексте,

№страницы

4.2., 132

4.3., 132

5.1., 164

5.2., 165

5.3., 180