Материал: Алгебра_кортежей

Из доказанного непосредственно следует

Теорема 5.2. Мера ортогональной C-системы равна сумме мер содержащихся в ней C-кортежей.

Из теоремы 5.2 вытекает, что мера произвольной D-системы может быть вычислена, если преобразовать ее дискретное представление в ортогональную C-систему. Для произвольной C-системы можно, используя соотношения АК, разработать алгоритм преобразования такой C-системы в ортогональную, но во многих случаях проще вычислить по теореме 2.8 дополнение этой C-системы, преобразовать полученную D-систему в ортогональную C-систему и вычислить меру исходной C-системы, используя соотношение

где (C) – мера исходной C-системы, (U) – мера универсума, (C) – мера АКобъекта, дополнительного к исходному. Мера универсума для множества атрибутов {X1, X2, ..., Xn} вычисляется как произведение

(X1) (X2) ... (Xn).

Отметим следующие очевидные свойства АК-объектов, погруженных в вероятностное пространство или в любое другое нормированное пространство,

вкотором мера каждого атрибута равна 1:

a)мера полной компоненты ( ) в C-кортежах и C-системах равна 1;

b)мера любого частного универсума равна 1;

c)мера любого АК-объекта есть число в интервале [0, 1];

d)мера пустого АК-объекта равна 0;

e)для произвольного АК-объекта A мера его дополнения равна 1 – (A);

f)для пары (A, B) АК-объектов (A B) = (A) + (B) – (A B);

g)в любом АК-объекте после элементаризации мера каждой компоненты равна сумме мер соответствующих квантов, содержащихся в этой компоненте.

165

5.1.2. Логико-вероятностный анализ и алгебра кортежей

Внастоящее время логико-вероятностный анализ (ЛВА) надежности и безопасности структурно сложных систем, разработанный И.А. Рябининым и его учениками, широко используется как в теоретических исследованиях, так и

впрактических приложениях [Рябинин, 1981; 2000; Соложенцев, 2004]. Однако

внастоящее время ЛВА применяется в основном в моделях исчисления высказываний, и при переходе к более сложным моделям со многими состояниями приходится использовать методики, предназначенные для частных случаев. Имеются программные реализации логико-вероятностного анализа, но

вних теряется прозрачность и доказательность используемых алгоритмов. Нередко сами алгоритмы, лежащие в основе программного обеспечения, приобретают статус "ноу-хау", в силу чего их суть в публикациях не раскрывается. Поэтому возникает необходимость в разработке методики, позволяющей с единых теоретических позиций подойти к созданию алгоритмов анализа структурно сложных систем. Применение АК позволяет решить перечисленные выше проблемы.

ВЛВА обычно в качестве исходных данных при вероятностных расчетах используются не логические формулы, а структурные схемы, отображающие причинно-следственные связи между множествами элементарных событий в системе. Если такие схемы могут быть представлены логическими формулами, то они легко преобразуются в вероятностные модели АК [Кулик, 2007 a]. В качестве примера рассмотрим двухполюсник (рис. 5.3) с мостиковой схемой.

X1 X4

X2 X5

Рис. 5.3. Мостиковая схема

Такая схема, в частности, описывает систему энергоснабжения какоголибо объекта, в которой X1 и X2 – источники энергии, X3 – распределительный щит, X4 и X5 – потребители. Здесь элемент X3 выполняет роль переключателя, в силу чего между полюсами a и b допустимы только следующие пути: X1X4, X2X5, X1X3X5, X2X3X4. Это множество путей можно представить как ДНФ:

166

Логическая функция F, связывающая состояние системы с состоянием элементов, в ЛВА называется функцией работоспособности системы (ФРС).

Пусть каждый элемент системы имеет два состояния (работоспособен и неисправен) и известны вероятности pi безотказной работы всех элементов. Требуется по ФРС определить вероятность безотказной работы всей системы.

В АК функцию F можно отобразить как C-систему в универсуме

X1 X2 X3 X4 X5 = {0, 1}5:

а ее отрицание – как D-систему

Используя описанные в предыдущих разделах методы, преобразуем D-систему R в ортогональную C-систему (для упрощения компоненты {0} и {1} далее записываются как 0 и 1):

(в последней системе второй и шестой C-кортежи объединены).

Поскольку уже известно распределение вероятностей событий в атрибутах (pi – вероятность безотказной работы элемента; qi = 1 – pi – вероятность отказа),

то можно сразу, используя ортогональную C-систему R, написать формулу для

167

расчета вероятности безотказной работы системы:

P(R) = 1 – P(R) = 1 – (q1q2 + p2q4q5 + q1p2q3p4q5 + p1q2q4q5 + p1q2q3q4p5).

Если речь идет о системе энергоснабжения, то из ФРС системы (5.3) следует, что система работоспособной даже тогда, когда работает хотя бы один потребитель. Но, допустим, по условию система работоспособна только если получают энергию и работают оба потребителя. В этом случае необходимо изменить ФРС:

F1 = F X4 X5.

Тогда в структурах АК имеем:

На основе описанного решения получаем расчетную формулу вероятности безотказной работы:

F1 = 1 – (q4 + p4q5 + q1q2p4p5).

Для этой ситуации можно сформулировать и более жесткие ограничения. Например, мощность энергии источника X2 недостаточна для работы двух потребителей. Значит, в систему необходимо еще ввести дополнительное ограничение: если не работает источник X2, то потребителя X5 необходимо

Введем это ограничение в систему R1:

168